湖北理工学院 毕业设计（论文）
界n?1连通区域，及其所围成的多连通区域内解析，其中C1,C2,?,Cn互不相交也互不包含，且都含于C0的内部，正向围C的逆时针方向，其他曲线都取顺时针方向，则
?c ?f(z)dz?0． (5)
2.5 柯西积分公式与解析函数的平均值定理
定理2.5 （柯西积分公式）设区域D的边界是闭曲线(或复合闭路)C，函数f(z)在D内解析，在D?D?C上连续，则有 1f(?)f(z)?d??c2?i??z (6)
其中积分沿曲线C的正方向．
对于柯西积分公式，其等式左边表示函数f(z)在C内部任一点处的函数值，而等式
右边积分的f(?)表示f(z)在C上的函数值，所以，柯西积分公式反应了解析函数在其解析区域边界上的值与区域内部个点处值之间的关系：函数f(z)在曲线C内部任一点的值可用它在边界上的值来表示，或者说f(z)在边界曲线C上的值一旦确定，则它在C内部任一点处的值也随之确定．这是解析函数的重要特征．
??z0?R定理2.6 （解析函数的平均值定理）设C为圆周：，即
i?i???z0?Re(0???2?)d??iRed?从而 1f(?)，则f(z0)?d??c2?i??z0
12?f(z0?Rei?)?iRei??d?i??02?iRe 12?i??f(z0?Re)d?2??0 (7)
z即解析函数的圆心0处的值等于它在圆周上的平均值，这就是解析函数的平均值定理．
2.6 高阶导数公式和柯西不等式
K的解析函数f(z)有各阶导数，则有 定理（高阶导数公式）设在区域!f(?)(n)2.7 nf(z)?d?(n?1,2,3,???)n?1?c2?i(??z) (8)
其中C为区域D内围绕z的任何一条闭曲线，积分沿曲线C的正方向．
定理2.8 （柯西不等式） 设函数f(z)在区域D内解析，a为D内一点，以a为圆
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心作圆周：
f(n)(a)???a?Rn!M(R),M(R)?maxf(z)z?a?RRn，只要r及其内部K均含于D，则有
(n?1,2,???) (9)
2.7 奇点在积分路劲上的柯西积分公式
定理2.9 （奇点在积分路劲C上的柯西积分公式） 设区域D的边界是周线（或复
?D?C周线）C，f(z)在D内解析，在D上连续，且在C上f(z)满足Holder条
f(z)?f(z)?Kz?z,(0?a?1)1212件（，其中K,a都是实常数，z1,z2是C上任意
a11f(z)f(z0)?dz,(z0?C)?c2?iz?z0 2 (11)
两点），则有
此式称为z0在边界C上的柯西积分公式．
3 应 用 举 例
3.1 解复变函数的方法和技巧
柯西积分公式是解析函数的一种简单表达式，也是复积分的基本公式，其体现了解析函数在解析域内部值与边界值间的关系．解析函数的高阶导数是一个特别的求解积分公式，是通过用导数的方法求积分，使得在求沿闭曲线的积分时更加简洁，当函数在D内处处解析，那么它各阶导数在区域内都存在．由柯西积分公式推导出的复合闭路定理，解析函数平均值定理等等都要合理利用，它们的合理利用会让一些复积分求解起来异常快捷．
?zsin 3.2 举例应用 63z??1dz?z?2??z?z?zc?C：?2sin例sin1 计算积分． 3sin6z?1的值，其中sin??1z??16dz?6?6dz?2?i??2??2??z?1c cz?1在z?1解的内部解析，依柯西积分定理有 z被积函数?1z?1????z??1
1?i?2?i??42
注解：在闭曲线C所围成的区域内解析，且在C上连续时，柯西积分公式仍然成立，利用柯西积分公式来求解．
4 结 束 语
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本文通过收集和整理一些相关的资料，主要从柯西积分定理和柯西积分公式入手，分析并归纳出它们和复变函数间的内在联系，推导出了复合闭路定理、解析函数的平均值定理、高阶导数公式、奇点在积分路径C上的柯西积分公式
柯西积分公式，柯西积分定理，复合闭路定理，高阶导数定理等等的合理利用，可以使在求解复变函数积分时变得高效简洁．
解决了上述所提出的一些问题，使得柯西积分定理在很多方面有更广泛的用途，如电学、力学、光学、工程技术，特别是数学等学科．
致 谢
经过这段时间的艰辛努力，我的论文的撰写终于顺利完成了.在这论文完成的背后，有很多我要感谢的人．
首先，我要感谢我的论文指导老师何艳平老师，在她的悉心指导和耐心督促下，我的论文才有条不紊的按时完成．在这个过程中，何老师教了我们很多思考与解决问题的方法，诚挚地向何老师表示感谢．
其次，我也谢谢数理的其他所有老师，是你们花费了四年青春来培养了我们，没有你们的谆谆教诲和循循善诱，我们难以成才，顺利完成大学学业，这都是完成这次毕业论文设计的垫脚石．
最后，我也谢谢所有帮我的同学，在论文撰写过程中，与你们商讨，你们给予的宝贵意见，为了能完成顺利完成毕业论文设计打下了基础．
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参考文献`
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[2] 麻桂英．计算复积分的常用方法
[3] 郭芳．沿不闭曲线的复积分计算方法探析 [4]付小霞．复变函数及其应用 [5]崔冬玲．复积分的计算方法
[6]杨秀玲 ．区域上解析函数的复积分计算 [7]吴白旺．利用复积分计算一种特殊类型的定积分 [8]完巧玲．利用复积分计算实积分 [9]严之山 ．关于复积分的计算 [10]邱尚月．复积分的计算
[11]Hardy GH.Wright EM. An Introduction to the Theory of Numbers [12]Brown J W Complex variable and applications
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