2013年高考模拟理科数学试题(二)
参考答案
题号 1 2 3 4 5 答案 B A A B D 二、填空题（每小题5分，共20分） 13， 2 . 14, 36 15.
126 C 7 B 8 D 9 A 10 D 11 A 12 C ?p 16. 1
三，解答证明题（每题都必须写出详细的解答过程） 17，（本小题满分10分）
解：（1）f(x)=cos2x+3sin2x+a+1=2sin(2x+
?6)+a+1
因为f(x)的最大值是2，所以a= -1┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 （2）∵ 0≤x≤∴-1≤2sin(2x+
?6?2, ∴
?6≤2x+
?6≤
7?6, ∴-
12≤sin(2x+
?6)≤1
)≤2,即f(x)的值域是[-1,2] ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分
（18）方法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直， ∴CD⊥面PAD．又CD?面PCD，∴面PAD⊥面PC （Ⅱ）解：过点B作BE//CA，且BE=CA， 则∠PBE是AC与PB所成的角． 连结AE，可知AC=CB=BE=AE=
2，又AB=2，
D．
所以四边形ACBE为正方形． 由PA⊥面ABCD得∠PEB=90° 在Rt△PEB中BE=
2，PB=
5， ?cos?PBE?BEPB?105.
所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为
105.
（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连结BN． 在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB， ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角．∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC， 在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
3?522? 在等腰三角形AMC中，AN·MC=CM2?(AC2)?AC，?AN?2265．
6
∴AB=2，?cos?ANB?
AN2?BN2?AB22?AN?BN??23，故所求的二面角的余弦值为?23
方法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，)．
21
（Ⅰ）证明：因AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC. 由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PA
D．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PC D．
（Ⅱ）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1), 故|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以?105
cos?AC,PB??AC?PB|AC|?|PB| .
（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在??R,使NC??MC,
NC?(1?x,1?y,?z),MC?(1,0,?12),?x?1??,y?1,z?12z?0,解得??4512.
?..
要使AN?MC,只需AN?MC?0即x?4可知当??
12时,N点坐标为(,1,),能使AN?MC?0.5551212此时,AN?(,1,),BN?(,?1,),有BN?MC?05555
由AN?MC?0,BN?MC?0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB为所求二面角的
平面角．
?????|AN|?30????????4,AN?BN??.555????????????????AN?BN22??????.?cos(AN,BN)?????故所求的二面角的余弦值为?
33|AN|?|BN|30????,|BN|?
CCCC3C4C3?C2912????19、解：（Ⅰ）：P(??0)?42?32? ， P(??1)?4 2222C5C550C5C5C5C525CC3?C2C4C2C4C231????P(??3)??? P(??2)?4 ， 222222C5C5C5C510C5C52511122122212211
7
随机变量?的分布列为
?
p
0
9501
12252
3103
125
数学期望E??65???????????????8分
310?125?1750（Ⅱ）所求的概率P?(??2)?P(??2)?P(??3)??????12分
20、解：①当x?1时 y?3
?f1(1)?3a?2b?9??3?a?4 ∵f(x)?3ax?2bx?9∴?∴?
b?12f(1)?a?b?9?2?3??12∴f(x)?4x3?12x2?9x?2
（2）由f1(x)?0得：x1?∵f()?415712 x2?32
13,f()?4,f()?2,f(2)?4∴f1622(x)min?2
由f(x)?t2?2t?1对x??,2?恒成立∴t2?2t?1?2 ?1?t?3
?4?又g(t)?(t?
21解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为
??2a?b?23,?2由题意知?解得b?a?2, ?2?a?b2?c2. 112)?2?1?94 ∴当t??12时 g(t)22min??94 当t?3时 g(t)max?10
xa?yb22?1(a?b?0)，F(c,0)． yPDE3，c?1．
AOFBx故椭圆C的方程为
x24?y23?1，离心率为
12．??6分
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可设直线AP的方程为y?k(x?2)(k?0).则点D坐标为(2, 4k)，
?y?k(x?2),?22222BD中点E的坐标为(2, 2k)．由?x2得(3?4k)x?16kx?16k?12?0． y??1?3?4设点P的坐标为(x0,y0)，则
?2x0?1k6?3?4k22126?8k．x0?23?4k2，
8
y0?k(x0?2)?12k3?4k2． ???8分
12因为点F坐标为(1, 0)，当k??时，点P的坐标为(1, ?32)，点D的坐标为(2, ?2).
直线PF?x轴，此时以BD为直径的圆(x?2)2?(y?1)2?1与直线PF相切．??10分 当k??4k1?4k212时，则直线PF的斜率kPF?(x?1)．
y0x0?1?4k1?4k2.所以直线PF的方程为
y?8k点E到直线PF的距离d?1?4k2?2k?16k224k1?4k222k?8k?1?4k1?4k2223?2|k|．
(1?4k)?1|1?4k|又因为|BD|?4|k| ，所以d?12|BD|．故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．???12分
???3x?1?tcosx?1?t????6222（B）解：解：（1）直线的参数方程为?，即?
?y?1?1t?y?1?tsin???6??2?3x?1?t??222 （2）把直线?代入x?y?4
?y?1?1t??2322得(1?t)?(1?12t)?4,t?(3?1)t?2?0
22t1t2??2，则点P到A,B两点的距离之积为2
22.（C）（方法一）当x??3时，∵原不等式即为??x?3???x?2??3??5?3，这显然不可能，∴x??3不适合．
当?3?x?2时，∵原不等式即为?x?3???x?2??3?x?1，又?3?x?2，∴
1?x?2适合．
9
当x?2时，∵原不等式即为?x?3???x?2??3?5?3，这显然恒成立，∴x?2适合．
故综上知，不等式的解集为?x1?x?2或x?2?，即?xx?1?
?5,x??3,??（方法二）设函数f?x??x?3?x?2，则∵f?x???2x?1,?3?x?2,∴作函数f?x?
??5,x?2,的图象，如图所示，并作直线y?3与之交于点A． 又令2x?1?3，则x?1，即点A的横坐标为1． 故结合图形知，不等式的解集为?xx?1?．
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