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匀速圆周运动
一．匀速圆周运动 （一）五个重要物理量： 练习一：
1．圆周运动的加速度方向必指向圆心吗？
2．如图皮带传动装置，皮带不打滑，求传动时A、B、 B m C m C、D四点的v、?、an、Fn之比。 A 2m D 2m
例*：如图是以速度v匀速行驶的汽车的一个轮子，O为固定在汽车车身上的轴，轮子半径为R，此时轮子上的D点和地面接触且不打滑，OC恰水平，A为最高点，则A、C两点此时的速度多大？
练习：一水平放置的圆盘绕竖直轴转动，在圆盘上沿半径开有一条宽度为2 mm的均匀狭缝。将激光器与传感器上下对准，使二者间连线与转轴平行，分别置于；圆盘的上下两侧，且可以同步地沿圆盘半径方向匀速移动，激光器接收到一个激光信号，并将其输入计算
传感器 激光器
A C O D
机，经处理后画出相应图线。图（a）为该装置示意图，图（b）为所接收的光信号随时间变化的图线，横坐标表示时间，纵坐标表示接收到的激光信号强度，图中?t1＝1.0?100.8?10
－3
－3
s，?t2＝
s。
（1）利用图（b）中的数据求1 s时圆盘转动的角速度； （2）说明激光器和传感器沿半径移动的方向； （3）求图（b）中第三个激光信号的宽度?t3。
（二）圆周运动的周期性和多解性：
I ?t1 ?t2 ?t3 0 0.2 1.0 1.8 t(s) （b）
例1*：板OA水平，在其中点有一小物体，现将板突然绕过O点的
水平轴匀速转动，板长为L，为使板能与小物体再次相遇，板转动的角速 O A 度应符合什么条件？
练习：
的圆周做匀速圆周运动，且甲、乙的初速度方向平行，经过一段时间后，甲、 R 乙 v 乙再次速度大小、方向都相同，则甲的加速度必须满足什么条件？
甲 v
1．甲以速度v沿图示方向做匀变速直线运动，乙以速度v沿半径为R
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2*．黑圆板上有三条白条，用一闪光灯照亮，灯每秒钟亮20次，圆板 匀速转动，当?＝＿＿＿＿＿时仍看到三条白条，当?＝＿＿＿＿＿时可看 到六条白条。
3．地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L（L>R），直径AC与P′在同一直线上，直径BD与AC垂直，如图所示。跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中（沙袋所受空气阻力不计）。问：
（1）若小车在跑道上运动一周，则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内？
（2）若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？
（三）匀速圆周运动向心力
例1：一小球系于轻绳的一端，手握绳的另一端使小球在竖直平面内做（3）若绳不牢，在什么位置最易断，绳断后小球将做什么运动？
练习：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的最小速度是v，若小球以2v速度通过最高点，则它对轨道的压力为（
（A）mg，
例2*：如图，把质量为m的小球，用水平向左的恒力F从光滑
水平圆形轨道的右端推到左端，若轨道半径为R，恒力F大小为 R F mg/5，求：（1）小球到达左端时的速度大小，（2）小球到达左端时对轨道的作用力。
二．万有引力、人造卫星 （一）万有引力
（二）万有引力产生重力：
例：某物体在地球表面用弹簧秤测得重160N，把该物体放在航天器中，若航天器以加
（B）2mg，
（C）3mg，
（D）4mg。
）
A P B h P’ A O C D L
圆周运动，（1）小球在各点时受哪些力作用？（2）小球能通过最高点的条件， B O C D E
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速度a＝g/2（g为地球表面的重力加速度）竖直上升，在某一时刻，用同一弹簧秤称物体的示数为90N，不考虑地球自转影响，已知地球半径为R，求：
（1）此时物体所受的重力； （2）航天器距地面的高度。
4 2 1 练习：如图各轨道中哪些可以是卫星的运行轨道？哪个是地球同步 3 （三）万有引力提供向心力： 卫星轨道？哪个是资源卫星的轨道？
例1：用m表示地球同步卫星的质量，h表示它离地面的高度，R0
表示地球的半径，g 0表示地面附近的重力加速度，?0表示地球自转的角速度，则卫星受到地球对它的万有引力大小为
（A）0， （C）m 练习：
1．同步卫星的加速度为a1，地面附近卫星的加速度为a2，地球赤道上物体随地球自转的向心加速度为a3，则（
）
（A）a1＞a2＞a3 （B）a3＞a2＞a1 （C）a2＞a3＞a1 （D）a2＞a1＞a3
2．已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法：
Mm2??24?2h3?同步卫星绕地球做圆周运动，由G2 ＝m h得M＝ hGT2?T?
（1）请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。
（2）请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。
3．一艘宇宙飞船在一个星球表面附近沿着圆形轨道环绕该星球作近地飞行。要估测该星球的平均密度，则该宇航员只需要测定的一个参量是（ ）
（A）飞船的环绕半径， （B）行星的质量， （C）飞船的环绕周期， （D）飞船的环绕速度。
4．求证对太阳的所有行星有R3/T2＝恒量，
3
（ ）
（B）mR02g0/（R0＋h）2， （D）以上都不对。
R02g0?04 ，
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5．求证行星的近地卫星有：?行T卫2＝恒量。
6．假设地球同步卫星的轨道半径是地球赤道半径的n倍，则（ （A）其向心加速度是地面赤道上物体向心加速度的n倍， （B）其向心加速度是地面赤道上物体重力加速度的1/n2， （C）其向心加速度是地面赤道上物体向心加速度的1/n， （D）其向心加速度是地面赤道上重力加速度的n倍。
7．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点（如图），则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是
（
）
（A）卫星在轨道3上的速率小于在轨道1上的速率， （B）卫星在轨道3上的周期小于在轨道1上的周期，
（C）卫星在轨道1上经过Q点时的速度小于它在轨道2上经过Q点时的速度， （D）卫星在轨道2上经过P点时的向心加速度等于它在轨道3上经过P点时的向心加速度。
例2：已知A星质量为3M、B星质量为M，两星相距为L，试求它们绕共同中心转动的周期。
练习：我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T。S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为 （ ）
4?2r2（r－r1）4?2r134?2r34?2r2r1（A） （B） （C） （D）
GT2GT2GT2GT2
例3：银河系可看成为质量均匀分布的球形，太阳位于其边缘，且太阳距离银河系中心约25000光年，太阳绕银河系中心运动的轨道可视为圆，运动的周期约为1.7?108年，太阳光射到地球上需时间约500 s，由此可估算出银河系质量是太阳质量的多少倍。
3 2 Q 1 P ）