宿迁市2015届高三年级摸底考试
数学试题 2014.11 数 学Ⅰ
总体印象：
本次考试是市2015届第一次市统测，也是摸底考试，试题充分体现了摸底的特点，试卷立足基础，总体平稳，注意知识点的覆盖，注重重点知识测试，突出基本方法，加强思维和计算能力考查，难易适中，区分度、信度较高，题型略有创新。符合江苏省近两年高考试题趋势，顺应潮流。 试题评析：
一、填空题：
第1～5、9、11题难度系数都在0.8以上，属简单题，第6、7、8、10、12题难度系数在0.6～0.8之间，属中档题，第13、14题难度系数在0.4以下，属难题． 1．已知集合M??0,1,3?，N?xx?3a,a?M，则M?N= ▲ ． 2．若复数
??1?ai为纯虚数，i是虚数单位，则实数a的值是 ▲ ． 1?i2，3．若采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，…，
420，则抽取的21人中，编号在区间?241,360?内的人数是 ▲ ．
4．在如图所示的算法中，输出的i的值是 ▲ ．
S←2 i←1 5．已知{an}是等差数列，若2a7?a5?3?0，则a9的值是 ▲ ．
While S≤200 6．若将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，i←i＋2 S←S×i 则在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ▲ ．
End While 7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的渐近线方程是y??2x，
Print i （第4题图） 且经过点(2,2)，则该双曲线的方程是 ▲ ． 8．若cos(??)??31?，则sin(2??)的值是 ▲ ． 3?A1 M C1
B1
229．若a?ab?b?1，a，b是实数，则a?b的最大值是 ▲ ．
10．如图，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若各条棱长均为2，且 M?AB1C的体积是 ▲ ． M为AC11的中点，则三棱锥
C
A (第10题图)
B
1
11．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)?x2?x，则关于x的不等式
f(x)??2的解集是 ▲ ．
12．已知光线通过点M??3,4?，被直线l：x?y?3?0反射，反射光线通过点N?2,6?， 则反射光线所在直线的方程是 ▲ ．
13．如图，已知?ABC中，AB?AC?4，?BAC?90?，D是BC
C ?????1?????????????的中点，若向量AM?AB?m?AC，且AM的终点M在
4???????????ACD的内部（不含边界），则AM?BM的取值范围是 ▲ ．
A D B (第13题图) 2214．已知函数f(x)?x?2ax?a?1，若关于x的不等式f(f(x))?0的解集
为空集，则实数a的取值范围是 ▲ ．
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15．已知?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，?B?（1）若a?2，b?23，求c的值； （2）若tanA?23，求tanC的值．
16．如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是菱形，且
P PB?PD．
（1）求证：BD?PC；
（2）若平面PBC与平面PAD的交线为l，求证：BC//l．
A
C B
(第16题图)
17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知AB为直径，且AB?2km,O为圆心，
C为圆周上靠近A 的一点，D为圆周上靠近B 的一点，且CD∥AB．现在准备从AAC，C到D是线段CD.设经过C到D建造一条观光路线，其中A到C是圆弧??． 3D ?AOC?xrad，观光路线总长为ykm.
（１）求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；
（２）求观光路线总长的最大值.
2
C D O A B
(第17题图)
18．已知函数f(x)?ex（其中e是自然对数的底数），g(x)?x2?ax?1，a?R． （1）记函数F(x)?f(x)?g(x)，且a?0，求F(x)的单调增区间； （2）若对任意x1,x2??0,2?，x1?x2，均有f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)成立，求实
数a的取值范围．
x2y219．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:??1,设R(x0,y0)是椭圆C上的
2412任一点，从原点O向圆R：?x?x0???y?y0??8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q. （1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求证：2k1k2?1?0； （3）试问OP2?OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．
20．已知数列?an?是等差数列，其前n项和为Sn，若S4?10，S13?91． （1）求Sn；
（2）若数列{Mn}满足条件： M1?St1，当n≥2时，Mn?Stn－Stn?1，其中数列?tn?单
调递增，且t1?1，tn?N?．
①试找出一组t2，t3，使得M22?M1?M3；
②证明：对于数列?an?，一定存在数列?tn?，使得数列?Mn?中的各数均为一个整数的平方．
3
22y Q ?RP O x (第19题图)
数学Ⅱ 附加题部分
?1?21 B. 已知二阶矩阵A有特征值?1?1及对应的一个特征向量e1???和特征值?2?2及对应
?1??1?的一个特征向量e2???，试求矩阵A．
?0?
?x?cos?,21C.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是?（?是参数），若以
y?1?sin?,?O为极点，x轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中相同的单位长度，建立极坐标系，求曲
线C的极坐标方程． 22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，已知?BAC?90o，AB?AC?1，AA1?3，点E，
1F分别在棱BB1，CC1上，且C1F?C1C，BE??BB1，0???1．
31（1）当??时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；
3229（2）当直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为时，求?的值．
29
A
（第22题图）
A1B1
C1F
E B
C
11?aa1123．已知数列?an?的各项均为正整数，对于任意n∈N*，都有2??nn?1?2? 成
an?11?1annn?1立，且a2?4．
（1）求a1，a3的值；
（2）猜想数列?an?的通项公式，并给出证明．
4
数学参考答案与评分标准
数学Ⅰ 必做题部分
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） ．．．．．．．．1．?0,3? 2．1 3．6 4．7 5．3
y23272?1 8． ? 9．2 10．6． 7．x?
994311．(2,??) 12．6x?y?6?0 13．??2,6? 14．???,?2?
二、解答题: 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．15．（1）由余弦定理得，b?c?a?2c?acosB， …………………………3分
因为?B?2222?，a?2，b?23， 322所以12?c?4?2c，即c?2c?8?0 …………………………5分 解之得c?4，c??2（舍去）．
所以c?4. ……………………………7分 （2）因为A?B?C?π，tanA?23， tanB?3 所以tanC??tan(A?B) ……………………………9分
??tanA?tanB ……………………………11分
1?tanAtanB23?333． ???51?23?3所以tanC?33 ． ……………………………………14分 P 516．（1）连接AC，交BD于点O，连接PO．
因为四边形ABCD为菱形，所以BD?AC ……2分 又因为PB?PD，O为BD的中点， A 所以BD?PO ……………………………………4分 又因为AC?PO?O O 所以BD?平面APC，
C B 又因为PC?平面APC
(第16题图) 所以BD?PC……………………………………7分 （2）因为四边形ABCD为菱形，所以BC//AD …………………………9分 因为AD?平面PAD,??BC?平面PAD．
所以BC//平面PAD ………………………………………11分
又因为BC?平面PBC，平面PBC?平面PAD?l．
所以BC//l． ………………………………………………14分
D 5