专题热点四 平抛运动与圆周运动的综合问题
一、水平面内圆周运动与平抛运动的综合问题 1．命题角度
此类问题往往是物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题形式考查．
2．解题关键
(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程． (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移．
(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度．
【例1】 地面上有一个半径为R的圆形跑道，高为h的平台边缘上的P点在地面上P′点的正上方，P′与跑道圆心O的距离为L(L>R)，如图4－1所示，跑道上停有一辆小车，现从P点水平抛出小沙袋，使其落入小车中(沙袋所受空气阻力不计)．问：
图4－1
(1)当小车分别位于A点和B点时(∠AOB＝90°)，沙袋被抛出时的初速度各为多大？ (2)若小车在跑道上运动，则沙袋被抛出时的初速度在什么范围内？
(3)若小车沿跑道顺时针运动，当小车恰好经过A点时，将沙袋抛出，为使沙袋能在B处落入小车中，小车的速率v应满足什么条件？
【解析】 (1)沙袋从P点被抛出后做平抛运动，设它的落地时间为t， 12
则h＝gt，解得t＝2
2hg
当小车位于A点时．有xA＝vAt＝L－R 可得vA＝(L－R)
g 2h当小车位于B点时，有
xB＝vBt＝L2＋R2
可得vB＝g?L2＋R2?
2hg 2h1
(2)若小车在跑道上运动，要使沙袋落入小车，最小的抛出速度为
v0min＝vA＝(L－R)
若当小车经过C点时沙袋刚好落入，抛出时的初速度最大，有xC＝v0maxt＝L＋R 可得v0max＝(L＋R)
g 2hg 2h所以沙袋被抛出时的初速度范围为 (L－R)
g≤v0≤(L＋R)2h(3)要使沙袋能在B处落入小车中，小车运动的时间应与沙袋下落的时间相同
tAB＝(n＋)tAB＝t＝
12πR(n＝0,1,2,3，?) 4v2hg ?4n＋1?πR得v＝
2【答案】 (1)(L－R)(2)(L－R)g(n＝0,1,2,3，?) 2hg 2hg?L2＋R2?
2hg 2hg≤v0≤(L＋R)2h?4n＋1?πR(3)
21．命题角度
g(n＝0,1,2,3，?) 2h二、竖直面内圆周运动与平抛运动的综合问题
此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以计算题形式考查．
2．解题关键
(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，然后分析物体能够到达圆周最高点的临界条件．
(2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量．
图4－2
【例2】 如图4－2所示，一不可伸长的轻绳上端悬挂于O点，下端系一质量m＝1.0 kg的小球．现将小球拉到A点(保持绳绷直)由静止释放，当它经过B点时绳恰好被拉断，小球平抛后落在水平地面上的C点，地面上的D点与OB在同一竖直线上，已知绳长L＝1.0 m，B
2
点离地高度H＝1.0 m，A、B两点的高度差h＝0.5 m，重力加速度g取10 m/s，不计空气影响，求：
(1)地面上DC两点间的距离s； (2)轻绳所受的最大拉力大小．
【解析】 分段研究小球的运动过程，A到B过程中小球在竖直面内做圆周运动，机械能守恒；B到C过程中小球做平抛运动，根据平抛运动的分解求解．注意隐含条件：恰好被2
拉断时，轻绳达到最大张力．
(1)小球从A到B过程机械能守恒，有
mgh＝122
mvB①
小球从B到C做平抛运动，在竖直方向上有
H＝12
gt2②
在水平方向上有
s＝vBt③
由①②③式解得s≈1.41 m④
(2)小球下摆到达B点时，绳的拉力和重力的合力提供向心力，有
－mg＝mv2FBL⑤
由①⑤式解得
F＝20 N
根据牛顿第三定律
F′＝－F
轻绳所受的最大拉力为20 N. 【答案】 (1)1.41 m (2)20 N
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