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长郡中学2019届高三月考试卷（一）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设复数z?1?i1?i?2i，则z?（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.已知集合A??x?x2?4x?0?，B?{x118?3x?27}，
C??xx?2n,n?N?，则?AB?C?（ ） A．?2,4? B．?0,2? C．?0,2,4? D．?xx?2n,n?N?
3.若定义在R上的偶函数f?x?满足f?x?2??f?x?且x??0,1?时，f?x??x，则方程f?x??log3x的零点个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4.计算sin133?cos197??cos47?cos73?的结果为（ ） A．
12 B．?1232 C. 2 D．2 5.已知A、B、P是双曲线x2a?y22b2?1上不同的三点，且A、B连线经过坐标原点，若直线PA、PB的
斜率乘积kPA?kPB?3，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B．3 C.2 D．3
6.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y（单位：千瓦·时）与气温x（单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：
x（单位：℃） 17 14 10 ?1 y（单位：千瓦·时） 24 34 38 64 由表中数据得线性回归方程：y???2x?a?，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ） A．56千瓦·时 B．62千瓦·时
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C. 64千瓦·时 D．68千瓦·时
7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）
A．
5003? B．100021253? C.3? D．12523? 8.知平面向量a，b满足a?a?b??3，且a?2，b?1，则向量a与b夹角的正弦值为（ ）
A．?13132 B．?2 C.2 D．2 9.设a,b?R，则“?a?b??a2?0”是“a?b”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30?7?23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A．
112 B．114 C. 115 D．118 11.过抛物线y2?4x焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，与圆?x?1?2?y2?r2交于C、D两点，若
有三条直线满足AC?BD，则r的取值范围为（ ）
A．(3,??) B．(2,??) C. (1,3) D．(3222,2) 12.设函数f?x??ex?x?1?，函数g?x??mx?m,?m?0?，若对任意的x1???2,2?，总存在x2???2,2?，
使得f?x1??g?x2?，则实数m的取值范围是（ ）
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A．??3e?2,? B．?,e2?
33??1???1???2eC.?,??? D．??,????
?1?3??第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
?13.设x,y满足约束条件?
x?3y?3
?x?y?1，则z?y的最大值为 ．
??
y?0
x14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223?223，338?338，4415?4415，5558824?524，则按照以上规律，若8n?8n具有“穿墙术”，则n? ． 15.已知S?aS2mn是等比数列n?的前n项和，若存在m?N*，满足S?9，a2m?5m?1，则数列?an?的mamm?1公比为 ．
16.如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在?ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且3acosC??2b?3c?cosA. （1）求角A的大小；
（2）若a?2，求?ABC面积的最大值.
18. 如图，在四棱锥P?ABCD中，PA?底面ABCD，AD?AB，AB//DC，AD?DC?AP?2，
AB?1，点E为棱PC的中点.
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（1）证明：BE?PD；
（2）若F为棱PC上一点，满足BF?AC，求二面角F?AB?D的余弦值.
19. 某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间?2,22?（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为?2,6?，?6,10?，?10,14?，?14,18?，?18,22?，并绘制出如下的频率分布直方图.
（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；
（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数； （3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.
x220. 已知椭圆Cy2x21:a2?b2?1?a?b?0?的左右顶点是双曲线C2:3?y2?1的顶点，且椭圆C1的上顶点
到双曲线C2的渐近线的距离为尝 （1）求椭圆C1的方程；
（2）若直线l与C1相交于M1,M2两点，与C2相交于Q1,Q2两点，且OQ1?OQ2??5，求M1M2的取值范围.
21. 已知函数f?x??m?lnxx,m?R，x?1. 2
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（1）讨论f?x?的单调区间；
（2）若f?x??mx恒成立，求m的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为??x?1?t（其中t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴
?y?a?2t的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为4??cos?. （1）分别写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （2）若直线l与圆C相切，求实数a的值. 23.选修4-5：不等式选讲 设函数f(x)?x?a?x?a. （1）当a?1时，解不等式f(x)?4；
（2）若f(x)?6在x?R上恒成立，求a的取值范围.
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）参考答案
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