高考数学能力提高题第13讲 复数与三角函数
题型预测
复数与三角有着极为密切的关系，将二者融合在一起考查，历来为命题者所青睐．考查的题型往往结合辐角主值、积化和差、和差化积公式等命制．
范例选讲
例1 已知z1?1?cos??isin?,z2?1?cos??isin?且argz1?argz2?
13?6?0???????2??，
，z1z2?3?1，求tan?????的值．
讲解：由于涉及到辐角主值与模，所以，不妨将z1,z2写成三角形式． 由z1?1?cos??isin??2cos22?2?2isin?2cos?2?2cos?????cos?isin??2?22?，
z2?1?cos??isin??2sin?2sin?2?2isin?2cos?2????????????cos??isin????????2?2?2???2?2?2,
且0???????2?，所以，argz1?又argz1?argz2?13?6argz2?5?2??2．
，z1z2?3?1，所以，
??2?2??3，cos?2sin?2?3?14．
又cos?2sin?2?1?????????sin?sin?，
2?22?12所以sin???2??．
?2?又由0???????2?可知：所以，tan??????tan7?3?3???2?3?2，所以，
???2?7?6．
．
13?6点评：本题的突破口在于对argz1?argz2?，z1z2?3?1的处理．由
于z1，z2分别涉及到角α，β，且互不相关，所以只需将z1，z2分别化为三角形
式即可．
例2 已知复数z1,z2满足z1?z2?1，且z1?z2?讲解：设复数的三角形式去解本题是常规思路． 设z1?cos??isin?,因为z1?z2?1?23i1?23i，求z1?z2的值．
z2?cos??isin?，
，所以，
?cos??cos??????sin??sin????1232(1)
(2)和差化积，(2)
(1)得tan32???2?3，
12所以，sin??????12,cos???????．
所以，z1?z2???32i．
点评：如果注意到模为1的复数的特性：z?1?23i1z，则由z1?z2?z1?z2z1z21?23i1?23i可得：
z1?z2?，即
1?3i21?23i1z1?1z2?1?23i，也即
?．所以，
z1z2?z1?z21?23i???1?23i．
例3 已知z?cos??sin??2?i?cos??sin??． （1） 当?为何值时，z取得最大值，并求此最大值． （2） 若????,2??，求argz（用?表示）． 讲解：（1）
z??cos??sin??2?2??cos??sin??2
?4?22?cos??sin??
????21?cos????4??????1时，z4?所以，当cos?????取最大值22．
（2）要求argz，可以把z写成三角形式，但较为困难，故可先求出argz的正切值．设argz=α，则由于
z?cos??sin??2?i?cos??sin??=
????2?1?sin(???)?isin(??)?44?????sin????4??
所以，tan?????2sin????4???????2?1?sin????????4??????????tan???． ??8???21?cos????4??因为????,2??，
所以，z的实部=2?1?sin(???)?〉0，z的虚部=2sin(??)．
44??当????,?5?8?????7???4?时，2sin(???4)<0，Z所对应的点位于第四象限．由于
???9??????8?28??2??8??，所以，argz=α??????2?．
当???,2??时，2sin(??)≥0，Z所对应的点位于第一象限（或x轴4?4?正半轴）．由于???2??7???8?9?8，所以，argz=α?????2????7??????8?28．
点评：正确解答本题，一要注意到辐角主值的范围，二要注意到正切函数在
?0,2??上并非单值函数，三要正确运用诱导公式tan?x?k???tanx?其中k?Z?．
高考真题
1．（1999年全国高考） 设复数z＝3cosθ＋2isinθ,求函数y＝θ－argz(0＜
θ＜
π2的最大值以及对应的θ值．
2．（2001年全国高考）已知复数z31?i(1?i)，
（Ⅰ）求argz1及z1；
（Ⅱ）当复数z满足z?1，求z?z1的最大值． [答案与提示：1．当θ=arctan
62时，y取得最大值arctan
612；argz1=
7?4，z1=22；（Ⅱ）z?z1的最大值为22+1．]
2．（Ⅰ）