鑫火教育——专注于中小学课外辅导
第八讲 分式方程
姓名：﹍﹍﹍﹍ 分数：﹍﹍﹍﹍
知识说明：本章主要学习分式的概念，分式的基本性质，分式的约分、通分，分式的运算（包括乘除、乘方、加
减运算），分式方程等内容，分式是两个整式相除的结果，且除式中含有字母，它类似于小学学过的分数，分式的内容在初中数学中占有重要地位，特别是利用分式方程解决实际问题，是重要的应用数学模型，在中考中，有关分式的内容所占比例较大，应重视本章知识的学习。解分式方程一定要检验根。注：下讲知识点也编在这讲。
学生要求：了解分式的概念，分式有意义的条件，会做分式的化简求值，会解分式方程。
一、知识要点 一、主要考点
考点1：分式的意义
例1．（1）（2006年南平市）当x 时，分式分析：要使分式有意义，只要分母不为0即可 当x≠-1时，分式
1有意义． x?11有意义． x?1x?1的值是零，那么x的值是（ ） x?1（2）（2006年浙江省义乌市）已知分式
A．-1 B．0 C．1 D． ?1 分析：讨论分式的值为零需要同时考虑两点：（1）分子为零；（2）分母不为零，当x=1时，分子等于零，分母不为0，所以，当x=1时，原分式的值等于零，故应选C．
A在什么情况下有意义、无意义和值为0的问题。当B≠0时，BAAA分式有意义；当B=0时，分式无意义；当A=0且B≠0时，分式的值为0
BBB评注：在分式的定义中，各地中考主要考查分式考点2：分式的变形
例2．（2006年山西省）下列各式与
x?y相等的是（ ） x?y(x?y)2x2?y22x?y(x?y)?5（A）（B）（C）2 (x?y)（D）2222x?y(x?y)?5x?yx?y解析：正确理解分式的基本性质是分式变形的前提，本例选项（C）为原分式的分子、分母都乘以同一个不等
于0的整式（x-y）所得，故分式的值不变．
考点3：分式的化简
分式的约分与通分是进行分式化简的基础，特别是在化简过程中的运算顺序、符号、运算律的应用等也必须注意的一个重要方面
x－11
例2．（2006年临安市）化简：÷(x－).
xx分析：本题要先解决括号里面的，然后再进行计算
鑫火教育——专注于中小学课外辅导
x?1x2?1x?1x1????解：原式?
xxx(x?1)(x?1)x?1评注:分式的乘除法运算，就是将除法转化为乘法再进行约分即可．
考点4：分式的求值
例4．（2006年常德市）先化简代数式：?2x?1?x?1，然后选取一个使原式有意义的x的值代入?2??2?x?1x?1?x?1求值．
分析：本题先要将复杂的分式进行化简，然后再取一个你喜欢的值代入（但你取的值必须使分式有意义）．
解：化简得：x2?1，取x=0时，原式=1；
评注：本题化简的结果是一个整式，如果不注意的话，学生很容易选1或-1代入，这是不行的，因为它们不能使分式有意义．
考点5：解分式方程
例5．（2006年陕西省）解分式方程：
2x3??2 x?2x?2分析：解分式方程的关键是去分母转化为整式方程
22解：2x(x?2)?3(x?2)?2(x2?4)，2x?4x?3x?6?2x?8， ?7x??2
x?222，经检验：x?是原方程的解，∴原方程的解为x? 777点评：解分式方程能考查学生的运算能力、合情推理等综合能力，解分式方程要注意检验，否则容易产生增根而致误！
考点6：分式方程的应用
例6．(2006年长春市)A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？
分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可 解：设B城市每立方米水的水费为x元，则A城市为1.25x元
2020?2?, 解得x = 2经检验x = 2是原方程的解。 1.25x = 2.5（元） x1.25x答：B城市每立方米水费2元，A城市每立方米2.5元。
点评：收缴水、电费的问题是贴近生活的热点问题，是老百姓最关心的问题之一，体现了数学的实用性的理念 考点7：无解与增根
一、 分式方程无解不一定就产生增根 要弄清这个问题,首先要搞清楚:什么是分式方程的增根?简言之,能使分式方程的最简公分母为零的根就是其增根。再次必须知道:增根也是根,它是原分式方程去分母后所变形而成的整式方程的根。若这个整式方程本身就无解,当然原分式方程肯定就无解了,而在这种情形下就没有增根产生。举例如下:
例1.解方程: (x-1)/(x+2)=(3-x)/(2+x)+2 分析: 去分母得:x-1=3-x+2x+4 移项,合并同类项得:0x=8
因为此方程无解,所以原分式方程无解.
例2.解方程: (x2 +2)/( x2 -4)=2/(x+2)-1 分析: 去分母得:x2+2=2x-4-x2+4 移项,合并同类项得:x2-x+1=0
鑫火教育——专注于中小学课外辅导
∵△=1-4<0 ∴此方程无解 ∴原方程无解. 二、分式方程产生增根时也不一定就无解
如果分式方程在去分母后所变形而成的整式方程是一元一次方程,它的解恰能使最简公分母为零,这个根是增根。又由于一元一次方程的根往往只有一个,所以,这时的原分式方程无解;若所变形而成的整式方程是一元二次方程时,情形就不一样了。举例如下:
例3.解方程: 1/(x-2)+3=(1-x)/(2-x) 分析: 去分母得:1+3x-6=x-1 解得:x=2
经检验: x=2是增根 所以原方程无解.
例4.解方程: x/(x-1)-2/(x+1)=4/( x2 -1) 分析: 去分母得:x2+x-2x+2=4 解得:x1=2,x2=-1
经检验: x=2是原方程的根,x=-1是增根 所以,原方程的根为x=2.
因此,弄清增根与无解的区别,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义。
考点8：综合决策 例7．（2006年日照市）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成．现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成．请问：
（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？
（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用 解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，
?2424?x?y?1,?由题意得方程组：?， 解之得：x=40，y=60．
?18?18?10?1??xyx（2）已知甲工程队每天的施工费用为0．6万元，乙工程队每天的施工费用为0．35万元，根据题意，要使工程在
规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成． 由（1）知，乙工程队
301?， 60211∴甲工程队需施工÷=20（天）．最低施工费用为0．6×20＋0．35×30=2．25（万元）．
24030天完成工程的
答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天；
（2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是2．25 万元．
评析：这道考题把对二元一次方程组知识的考察放到贴近生活的热点话题的背景下，易激活学生的数学思维． 二、易错点剖析 1．符号错误 例1．不改变分式的值，使分式错解：
?a?b的分子、分母第一项的符号为正．
?a?b?a?ba?b?
?a?ba?b诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号．
鑫火教育——专注于中小学课外辅导
正解：
?a?b?(a?b)a?b． ???a?b?(a?b)a?b2．运算顺序错误
2a?4a?2??(a?3)
a2?4a?3a?32(a?2)2?(a?2)?2错解：原式=2．
a?4a?3a?4a?3例2．计算：
诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右． 正解：原式=
2a?4a?32(a?3)??(a?3)?．
a?1a2?4a?3a?23．错用分式基本性质
32a?b2的分子、分母各项系数都化为整数． 例3．不改变分式的值，把分式2a?b33(2a?b)?24a?3b2错解：原式=． ?22a?3b(a?b)?33诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以2，分母乘以3，分式的值改变了．
3(2a?b)?612a?9b2正解：原式=． ?24a?6b(a?b)?634．约分中的错误
a2?ab例4．约分：2．
a?2ab?b2错解：原式=
1?12?．
1?2?b23?b2诊断：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先分解因式，再约去公因式． 正解：原式=
a(a?b)a． ?(a?b)2a?b5．结果不是最简分式 例5．计算：
x?3yx?2y2x?3y． ??222222x?yx?yx?y(x?3y)?(x?2y)?(2x?3y)2x?2y． ?2222x?yx?y错解：原式=
诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进一步约分化简．
鑫火教育——专注于中小学课外辅导
正解：原式=
(x?3y)?(x?2y)?(2x?3y)2x?2y2(x?y)2x2?y2?x2?y2?(x?y)(x?y)?x?y． 6．误用分配律 例6．计算：
m?22m?4?(m?2?m?2m?2)．
错解：原式=
m?2m?2m?2113?m2(m?2)?(m?2)?2(m?2)?m?2?2(m?2)?2?2(m?2)． 诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律．
m?2m2正解：原式=?m?6m?2m?212(m?2)?m?2?2(m?2)?(m?2)(m?3)?2(m?3)． 7．忽略分数线的括号作用
例7．计算：
x3x?1?x2?x?1． x3x2?x?1x3(x?1)(x2?x?1)2x2错解：原式=x?1?1?x?1?x?1??1x?1． 诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用．
正解：原式=x3x?1?x2?x?11?x3x?1?(x?1)(x2?x?1)x?1?x3x?1?x3?1x?1?1x?1二、经典题型
一．选择题（共15小题） 1．（2013?漳州）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x ≠3 B． x≠﹣3 C． x＞3 D． x＞﹣3 2．（2013?湛江）计算的结果是（ ）
A． 0 B．1 C． ﹣1 D．x 3．（2013?枣庄）对于非零的实数a、b，规定a⊕b=﹣．若2⊕（2x﹣1）=1，则x=（ A． B． C． D． ﹣ 4．（2013?玉林）方程的解是（ ）
A． x=2 B．x =1 C． x= D． x=﹣2 ）