题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B C D C B D A D A
二、填空题(每小题5分,满分20分) 13. 14 14.8 5
15. 12 16. [2,8] 三、解答题：
17. 【解析】（1）因为i，j是互相垂直的单位向量，所以?i2?1,?j2?1,?i??j?0
a??a?2?(?i?3?j)2??i2?23?i??j?3?j2?2 b??b?2?(?3?i??j)2?3?i2?23?i??j??j2?2
a?b?(i?3j)?(?3i?j)??23 设a与b的夹角为?，故cos??a??b? ?23a?b??2?2??32 又??(0,?) 故??5?6 （2）由a?(a??b)得
(a???b?)?a??0
a?2??b??a??0，又a?2?4,b??a??2?2?(?32)??23
?2故???a?a?b??233
【解法二】
设a与b的夹角为?，则由i，j是互相垂直的单位向量，
不妨设i，j分别为平面直角坐标系中x轴、y轴方向上的单位向量，则
a??(1,3)，b??(?3,?1) a?1?3?2 b?3?1?2
a?b?1?(?3)?3?(?1)??23
12 B 6
故cos??a??b??23a?b??2?2??32 又??(0,?) 故??5?6 （2）由a与a??b垂直得
(a???b?)?a??0 a?2??b??a??0，又a2?4,b?a??23
?2故???a23a??b??3
18. 【解析】（1）x?1?2?3?4?55?3，
y?6?7?7.5?8?95?7.5
?4(x?x)2i?(1?3)2?(2?3)2?(3?3)2?(4?3)2?(5?3)2?10i?1
?5(xi?x)(yi?y)?(1?3)(6?7.5)?(2?3)(7?7.5)?(3?3)(7.5?7.5)i?1
?(4?3)(8?7.5)?(5?3)(9?7.5)?7ni?y)b???(xi?x)(yi?1n?7?(210?0.7
xi?x)i?1
a??y?b?x?7.5?0.7?3?5.4 故线性回归方程为y??0.7x?5.4. （2）当维护费用y超过13.1万元时，即
0.7x?5.4?13.1 ?x?11
?从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年.
答：该批空调使用年限的最大值为11年. 19. 【解析】（1）第六组与第七组频率的和为：
7
1?(0.008?5?0.016?5?0.04?5?0.04?5?0.06?5?0.008?5)?0.14
∵第六组和第七组人数的比为5：2.
∴第六组的频率为0.1，纵坐标为0.02；第七组频率为0.04，纵坐标为0.008.
（2）设身高的中位数为x，则
0.008?5?0.016?5?0.04?5?0.04(x?170)?0.5
x?174.5
∴估计这50位男生身高的中位数为174.5
（3）由于第4，5组频率之比为2：3，按照分层抽样，故第4组中应抽取2人记为1，2， 第5组应抽取3人记为3，4，5
则所有可能的情况有：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}， {3，4}，{3，5}，{4，5}共10种
满足两位男生身高都在[175，180]内的情况有{3，4}，{3，5}，{4，5}共3种 因此所求事件的概率为
3． 1020. 【解析】(1)
f(x)?31?cos?x33?sin?x? 22213??3(sin?x?cos?x)?3sin(?x?)
223?f(x)的最大值为3，最小值为?3 ?f(x)的值域为[?3,3]
??ABC的高为23?ABC为正三角形
??ABC的边长为4 ?f(x)的周期为4
8
T?(2)
2???4 ????2
??3??33 ?sin(x0?)? f(x0)?3sin(x0?)?23523521?????4x0?(?,) ?x0??(0,) ?cos(x0?)?
332322351??????????f(x0?)?3sin(x0??)?3[sin(x0?)cos?cos(x0?)sin]
2234234234 ?3(3?2427652?5?2)?10 21. 【解析】(1)
圆C的标准方程为(x?2)2?(y?2)2?16
?圆心为C(2,2),半径r?4
由弦长为43，得弦心距d?42?(23)2?2
1当斜率不存在时，直线为x?0,符合题意； 2当斜率存在时，设直线为y?1?k(x?0)即kx?y?1?0
则d?|2k?2?1|k2?1?2 化简得k??34
?直线方程为3x?4y?4?0
故直线l方程为x?0或3x?4y?4?0 (2) 设直线为y?1?k(x?0)即y?kx?1，A(x1,y1),B(x2,y2)，则
联立方程??x2?4x?y2?4y?8?0?kx?1得(1?k2)x2?(2k?4)x?11?0
?y?x2k?41?x2?1?k2,x1x2??111?k2，且??4(k?2)2?44(k2?1)?0恒成立 ?OA?OB?x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?1)(kx2?1)
?(k2?1)x1x2?k(x1?x2)?1??11?2k2?4k?8 1?k2?1?k2?4k?101?k2??8??8k2?4k?10??8k2?8 即4k?2
9
?k?12 22. 【解析】(1)切化弦得
sin?1?sin?cos??cos? ?sin?cos??cos??cos?sin?
?sin?cos??cos?sin??cos?即sin(???)?cos?
??(0,?2),??(0,???2) ?????2??或????2??
????2?2?或???2(舍)
(2) 由(1)得sin(?2?2?)?sin??m?0即cos2??sin??m?0
?1?2sin2??sin??m?0
?m?2sin2??sin??1
?????4??2,??(0,2) ???(0,4) 令t?sin??(0,22)，则m?2t2?t?1,t?(0,22) ?直线y?m与函数y?2t2?t?1,t?(0,22)公共点的个数即方程根的个数 由图像得
m??22或m??98时方程有0个根；
?1?m??22或m??98时方程有1个根；
?98?m??1时方程有2个根.
10