7．B [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体减去两个体积相等的圆柱的一部分?占圆柱的1?后余下的部分，故该几何体体积为2×2×2－2×1×π×2＝8－π.
4??43．[2014·浙江卷] 几何体的三视图(单位：cm)如图1-1所示，则此几何体的表面积是( )
图1-1
A．90 cm B．129 cm C．132 cm D．138 cm2
3．D [解析] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其直观图如图，
2
2
2
1
所以该几何体的表面积为2(4×3＋6×3＋6×4)＋2××3×4＋4×3＋3×5－3×3＝
2
2
138(cm)，故选D.
12．[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-3，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
图1-3
A．6 2 B．6 C．4 2 D．4 12．B [解析] 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E- CC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E＝（4 2）2＋22＝6.
6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
图1-1
175101A. B. C. D. 2792736．C [解析] 该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋π×22×4＝34π(cm3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝20
20π10
π(cm3)，故所求的比值为＝.
54π27
17．[2014·陕西卷] 四面体ABCD及其三视图如图1-4所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
(1)证明：四边形EFGH是矩形；
(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．
图1-4
17．解：(1)证明：由该四面体的三视图可知， BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC， BD＝DC＝2，AD＝1.
由题设，BC∥平面EFGH， 平面EFGH∩平面BDC＝FG， 平面EFGH∩平面ABC＝EH， ∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH. 同理EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG. ∴四边形EFGH是平行四边形．
又∵AD⊥DC，AD⊥BD，∴AD⊥平面BDC， ∴AD⊥BC，∴EF⊥FG， ∴四边形EFGH是矩形．
(2)方法一：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
DA＝(0，0，1)，BC＝(－2，2，0)，
BA＝(－2，0，1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， ∵EF∥AD，FG∥BC， ∴n·DA＝0，n·BC＝0，
?z＝0，?得?取n＝(1，1，0)， ?－2x＋2y＝0，?
BA·n?210→
∴sin θ＝|cos〈BA，n〉|＝?＝＝. 5?|BA||n|?5×2方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，
1
1，0，?，F(1，0，0)，G(0，∵E是AB的中点，∴F，G分别为BD，DC的中点，得E?2??1，0)．
1→
0，0，?，FG＝(－1，1，0)， ∴FE＝?2??BA＝(－2，0，1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y，z)， 则n·FE＝0，n·FG＝0，
1??2z＝0，得?取n＝(1，1，0)，
??－x＋y＝0，
?BA·n?210→
∴sin θ＝|cos〈BA，n〉|＝?→?＝＝. 55×2?|BA||n|?
10．[2014·天津卷] 一个儿何体的三视图如图1-3所示(单位：m)，则该几何体的体积为
________m3.
图1-3
20π10. [解析] 由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12
320π1
×4＋π×22×2＝. 33
7．[2014·重庆卷] 某几何体的三视图如图1-2所示，则该几何体的表面积为( )
图1-2
A．54 B．60 C．66 D．72
7．B [解析] 由三视图可知该几何体是由一个直三棱柱去掉一个三棱锥所得，三棱柱的底面是一个两直角边长分别为3和4的直角三角形，高为5，截去的锥体的底面是两直角
3×52＋51
边的边长分别为3和4的直角三角形，高为3，所以表面积为S＝×3×4＋＋×4
222
2＋5＋×5＋3×5＝60.
2
G3 平面的基本性质、空间两条直线 4．[2014·辽宁卷] 已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是( ) A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n?α，则m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
4．B [解析] B [解析] 由题可知，若m∥α，n∥α，则m与n平行、相交或异面，所以A错误；若m⊥α，n?α，则m⊥n，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故C错误．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊥α或n与a相交，故D错误．
17．、、[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．
(1)求证：AB⊥CD；
(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．
图1-5
17．解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.
又CD?平面BCD，∴AB⊥CD.
(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.
由(1)知AB⊥平面BCD，BE?平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD. →→→
以B为坐标原点，分别以BE，BD，BA的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．
110，，?. 依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M??22?11→→→
0，，?，AD＝(0，1，－1)． 则BC＝(1，1，0)，BM＝??22?设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)， x＋y＝0，→?BC＝0，??n·?00
则?即?1 1
→y＋z＝0，00?2BM＝0，??n·?2
取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)． 设直线AD与平面MBC所成角为θ， →|n·AD|6→则sin θ＝cos〈n，AD〉＝＝. 3→
|n|·|AD|
||
6
. 3
11．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
12302A. B. C. D. 10510211．C [解析] 如图，E为BC的中点．由于M，N分别是A1B1，A1C1的中点，故MN∥B1C1
1
且MN＝B1C1，故MN綊BE，所以四边形MNEB为平行四边形，所以EN綊BM，所以直
2
12
线AN，NE所成的角即为直线BM，AN所成的角．设BC＝1，则B1M＝B1A1＝，所以22
165
MB＝1＋＝＝NE，AN＝AE＝，
222
655＋－44430
在△ANE中，根据余弦定理得cos ∠ANE＝＝.
65102××22
即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为