第2章 习题参考解答
习题2-1
1、用导数的定义求下列各函数在指定点的导数: (1) f(x)?2x?3, 求f'(2),f'(0);
?yf(2??x)?f(2) ?lim?x?0?x?x?0?x[2(2??x)?3]?(2?2?3)2?x?lim?lim?2 ?x?0?x?0?x?x?yf(0??x)?f(0)[2(0??x)?3]?32?xf?(0)?lim?lim?lim?lim?2.
?x?0?x?x?0?x?0?x?0?x?x?x1b(2) f(x)?ax2?bx?c, 其中a,b,c为常数, 求f'(0),f'(),f'(?).
22a解：f?(2)?lim?yf(0??x)?f(0)(a?x2?b?x?c)?c解: f?(0)?lim ?lim?lim?x?0?x?x?0?x?0?x?xa?x2?b?x ?lim?lim(a?x?b)?b,
?x?0?x?0?x1111abf(??x)?f()[a(??x)2?b(??x)?c]?(??c)1?y2?lim2242f?()?lim?lim2?x?02?x?0?x?x?0?x?xa?x2?(a?b)?x?lim?lim(a?x?a?b)?a?b. ?x?0?x?0?xb?y)?lim?lim?x?02a?x?x?0f(?bb??x)?f(?)2a2a?x
f?(?
bbb2b22[a(???x)?b(???x)?c]?(??c)2a2a4a2a?lim?x?0?xa?x2?lim?lim(a?x)?0. ?x?0?x?x?0
2、作直线运动的物体的运动方程为s?t3?10,求该物体在t?3时的瞬时速度. 解：因为s??3t2，所以瞬时速度v(3)?s?t?3?3?32?27。 注：只要题目没有要求用定义求导，就最好不用定义。 3、求抛物线y?x2上在点x?3处的切线方程. 解: 因为y??2x, 所以切线的斜率k?y?|x?3?2?3?6. 切线方程: y?9?6(x?3) 即: y?6x?9
1
4、自变量x取何值时,抛物线y?x2与y?x3的切线平行?
22解：因为切线平行，斜率相等，故k1?2x0?k2?3x0?x0?或x0?0。
3（部分同学把x0?0去掉了，这是不对的，因为y=0是y?x2和y?x3的切线） 5、某种产品生产x个单位的总成本C为x的函数:
C?C(x)?k0?k1x 其中k0,k1为常数，k0?0,k1?0，.求生产x0个单位时总成本的变化率. 解：由题目知总成本的变化率为C?(x)，C?(x)?k12xk12x0.
所以生产x0个单位时总成本的变化率为C?(x0)?.
?x2?10?x?16、函数f(x)??在点x?1处是否可导?为什么?
x?1?3xf(x)?f(1)x2?1?2解：因为f??(1)?lim?lim??lim(x?1)?2 ??x?1?x?1x?1x?1x?1f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)3x?1?2?lim?3， ?x?1x?1x?1所以f??(1)?f??(1)，故f(x)在x?1处不可导。
?2x0?x?1?f(x)?错误的解法是：，所以f??(1)?2?3?f??(1)；这样做的错误有两个：?x?1?3一是从给出的导函数的表达式上有f?(1)?3，这与不可导当然是矛盾的；二是这样解题用了f??(1)?f?(1?0)和f??(1)?f?(1?0)即“函数在x?1处的左（右）导数等于导函数在x?1处的左（右）极限”这一结论，但一般条件下这一结论不成立，教材也没有给出成立的条件，
故不能乱用。
7、用已知的求导公式，求下列各函数的导数: （1）y?3x2 2?1解：?y?x?x，?y??(x)??x3
3322323（2）y?1 4x解：y??(x?4)???4x?3
2
（3）y?x
2?5解：y???x3
3?23（4）y?log3x 解：y??1; xln3（5）y?3x?ex
解：y??[(3e)x]??(3e)xln(3e)?3xex(ln3?1);
2（6）y?()x
3222解：y??()xln?()x(ln2?ln3).
333??8、设f(x)?sinx,求f?()、f?()。
32?1?解：?f?(x)?cosx，?f?()?,f?()?0
3229、证明(cosx)???sinx，并求(cosx)?|x?0 证明: 设y?cosx
则?y?cos(x??x)?cosx??2sin(x??x?x, )sin22?y??x?0?xlim?2sin(x??x?x?x)sinsin22?lim[?sin(x??x)]lim2??sinx
?x?0?x2?x?0?x2?(cosx)???sinx，(cosx)?|x?0?(?sinx)|x?0?0.
习题2-2
1、求下列函数的导数: （1）y?ax2?bx?c 解：y??2ax?b （2）y?x2(2?x) 解：y??2x(2?x)?x2(12x)?4x?53x 2（3）f(v)?(v?1)2(v?1)
3
解：f?(v)?2(v?1)(v?1)?(v?1)2?(v?1)(3v?1). （4）y?x2cosx 解：y??2xcosx?x2sinx （5）?(?)??sin? 解：??(?)?sin?2???cos?
（6）y?3ax?2 x2 x2解：y??3axlna?（7）y?1
1?x?x21?2x
(1?x?x2)2解：y???（8）s?解：s??1?sint
1?sint?cost(1?sint)?(1?sint)cost2cost ??(1?sint)2(1?sint)2（9）y?(2?sect)sint
解：?y?2sint?tant，?y??2cost?sec2t 2、求下列函数在指定点处的导数
（1）f(x)?anxn?an?1xn?1???a1x?a0,求f?(0),f?(1) 解：f?(x)?annxn?1?an?1(n?1)xn?2???a1
f?(0)?a1,f?(1)?ann?an?1(n?1)???a1
（2）y?x2sin(x?2),求y?(2) 解：y??2xsin(x?2)?x2cos(x?2)?1
y?(2)?4
3、求下列函数的导数(其中x，t是自变量，a，b是大于零的常数) （1）y?1a?x22
4
1?2xx解：y???? ?2232(a2?x2)3(a?x)（2）y?x2x?a22 x32x2?a2?x?2xa.
(x2?a2)32xx2?a2?x2解：y??x2?a2（3）y?1?ln2x 1lnxx?解：y?? 2221?lnxx1?lnx2lnx?（4）y?tanx 2x1?22?1cotxsec2x 解：y??422x2tan2sec2（5）y?31?ex 解：y??ex3(1?e)3x2 （6）y?ncosx2(n?Z?,n?2)
11?1?112x?2xsinx22n22n2解：y??(cosx)[?sinx]?2x??(cosx)sinx? 2n?1nnnn(cosx)（7）y?1?2x?221?2x11?x2
解：y???12x1x???
23232(1?x)1?2x(1?x)xx（8）y?sin2cot
32xx1xxx12xxx1xx解：y??2sincos??cot?sin2(?csc2)??sincoscot?sin2csc2
33323223332232（9）y?sin2(2x?1)
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