（5）频数与频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出
nA现的次数nA为事件A出现的频数；称事件A出现的比例fn(A)=n为事件A出现的概率：
对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P（A），称为事件A的概率。
nA（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA与试验总次数n的比值n，
它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率
3.1.3 概率的基本性质
1、基本概念：
（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件
（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；
（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；
（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B
为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)
2、概率的基本性质：
1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；
3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；
4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生；（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A
与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；
（1）事件A发生B不发生；（2）事件B发生事件A不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。
3.2.1 —3.2.2古典概型及随机数的产生
1、（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。 （2）古典概型的解题步骤； ①求出总的基本事件数；
②求出事件A所包含的基本事件数，然后利用公式P（A）=
A包含的基本事件数总的基本事件个数
3.3.1—3.3.2几何概型及均匀随机数的产生
1、基本概念：
（1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型； （2）几何概型的概率公式：
构成事件A的区域长度（面积或体积）P（A）=试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）；
（2） 几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；2）每个基本事件出
现的可能性相等．
高中数学 必修4知识点
第一章 三角函数
?正角:按逆时针方向旋转形成的角?1、任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角
?零角:不作任何旋转形成的角?2、角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角． 第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为
??k?360????k?360??90?,k???? ?
? ?
??k?360?90????k?360??180?,k?????k?360?180???k?360??270?,k????k?360?270?????k?360??360?,k???终边在x轴上的角的集合为终边在
????k?180,k???
?
????k?90,k???
?y轴上的角的集合为???k?180??90?,k??终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角?终边相同的角的集合为
????k?360??,k???
?4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
5、半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是
??lr．
?180????6、弧度制与角度制的换算公式：2??360，1?，1????57.3．
180???7、若扇形的圆心角为?????为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，
11C?2r?l，S?lr??r2．
228、设?是一个任意大小的角，?的终边上任意一点
?的坐标是?x,y?，它与原点的距离是
yPTO本
关
系
：；
rr?x2?y2?0??，则sin??yxy，cos??，tan???x?0?． rrx9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 10、三角函数线：sin?11
、
角
???，cos????，tan????．
角
函
数
2MAx三的基
?1?sin2??cos2??1?sin??1?cos2?,cos2??1?sin2???2?sin??tan?cos?sin???sin??tan?cos?,cos????．
tan???12、函数的诱导公式：
?1?sin?2k?????sin?，cos?2k?????cos?，tan?2k?????tan??k???． ?2?sin???????sin?，cos???????cos?，tan??????tan?． ?3?sin??????sin?，cos?????cos?，tan??????tan?． ?4?sin??????sin?，cos???????cos?，tan???????tan?．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
?5?sin???????cos??2??，
???cos?????sin??2?．
?6?sin???????cos??2??，
???cos??????sin?．
?2?口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 13、①的图象上所有点向左（右）平移
?个单位长度，得到函数
y?sin?x???的图象；再将函数
y?sin?x???的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1?倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来
的?倍（横坐标不变），得到函数
y??sin??x???的图象．
②数
y?sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的
1?倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin?x的图象；再将函数y?sin?x的图象上所有点向左（右）平移
??个单位长度，得到函数
y?sin??x???的图象；再将函数y?sin??x???的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来
的?倍（横坐标不变），得到函数14、函数
y??sin??x???的图象．
y??sin??x??????0,??0?的性质：
①振幅：?；②周期：?函数
?2??；③频率：
f?1???2?；④相位：?x??；⑤初相：?．
y??sin??x?????，当x?x1时，取得最小值为ymin ；当x?x2时，取得最大值为ymax，
则??
11??ymax?ymin?，???ymax?ymin?，?x2?x1?x1?x2?． 22215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
性 质
函
数 y?sinx
y?cosx y?tanx
图象
定义域 值域
当时
R R
???xx?k??,k????
2????1,1?
x?2k??，
??1,1?
?k???；
当
当xR
?2?2k??k???时，
最值
ymax?1ymax?1；当x?2k???
既无最大值也无最小值
x?2k???2
?k???时，ymin??1．
?
?k???时，ymin??1．
周期性 奇
奇函数
偶函数
奇函数
2?
2?
偶性
在
???? 2k??,2k????22??在
单调性
?k???上是增函数；在
?3??? 2k??,2k????22???2k???,2k???k???上
?2k?,2k????
在?k?是增函数；在
????2,k????? 2??k???上是减函数．
?k???上是增函数．
?k???上是减函数．
对称中心对称性
对称轴x?k?,0??k???
?k??对称中心
对称中心?无对称轴
?2?k???
???k??,0??k??? ?2??对称轴x?k??,0??k??? 2???k??k???
第二章 平面向量
16、向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量． 单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
?三角形法则的特点：首尾相连． ?平行四边形法则的特点：共起点． ?三角形不等式：
??????a?b?a?b?a?b．
?????运算性质：①交换律：a?b?b?a；
②结合律：
???????a?b?c?a?b?c????????；③a?0?0?a?a．
C ?a
?b
?????坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?．
18、向量减法运算：
?三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
?
?????坐标运算：设a??x1,y1?，b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2?． ????设?、?两点的坐标分别为?x1,y1?，?x2,y2?，则????x1?x2,y1?y2?．
19、向量数乘运算：
?实数?与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作?a．
?
??????????????a?b??C?????C
??