三、2ASK功率谱分析
1、2ASK信号的功率谱密度频域表达式的推导
基于以上原理，我们分析2ASK信号的谱结构。由于二进制码元序列s(t)和2ASK信号eo(t)都是随机信号，不具备傅里叶变换条件，故只能讨论其功率谱结构。设eo(t)的功率谱密度为pE(f)，s(t)的功率谱密度为pS(f)，s(t)是平稳随机过程，其自相关函数为RS(?)。
首先求该信号的自相关函数：
Reo(t)(t,t??)?E[eo(t)eo(t??)]?E[s(t)?cos?ct?s(t??)?cos?c(t??)]?E[s(t)?s(t??)]?E[cos?ct?cos?c(t??)]?RS(?)?[cos?ct?cos?c(t??)]cos?c??cos(2?ct?2?)]2cos?c?cos(2?ct?2?)?RS(?)?RS(?)22
由上式可以看出，2ASK信号的自相关函数是关于时间t的函数，故2ASK信号不
?RS(?)[是平稳随机过程。根据随机过程中关于功率谱密度的定义，我们知道对于非平稳随机过程2ASK信号，其功率谱密度可表示为
?SX(?)??ARX(t,t??)e?i??d?
??上式成立的条件是ARX(t,t??)绝对可积，A而
ARS(?)1?cos?c(2t??)?limT??2T2?0?lim1T??2T?T?Tdt表示时间平均。
?T?TRS(?)?cos?c(2t??)dt2
故
ARX(t,t??)?ARS(?)R(?)cos?c??AS?cos?c(2t??)22R(?)?Scos?c?2
将上述结果进行傅里叶变换得到2ASK信号的功率谱密度
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RS(?)pE(f)?F(cos?c?)21?PS(?)??[?(???c)??(???c)]211??PS(f)??[?(f?fc)??(f?fc)]2?21?[PS(f?fc)?PS(f?fc)] （1） 4上式中，由角频率?变为频率f用到了公式??2?f。该式就是2ASK信号的功率
谱密度在频域的表达式。
2、2ASK信号的功率谱密度具体表达式
单极性矩形脉冲序列s(t)的功率谱密度比较复杂，这里直接使用已有结论：
PS(f)?fSP(1?P)G(f)?fS2(1?P)2G(0)?(f)
22上式中，G(f)是g(t)的傅里叶变换，是矩形脉冲的频谱。根据g(t)的频谱特点，对于所有m?0的整数，有G(mfS)?0，上式变为
PS(f)?fSP(1?P)G(f)?fS2(1?P)2G(0)?(f)
22将上式带入2ASK信号的功率谱密度在频域的表达式（1）得
PE(f)?122fsP(1?P)?G(f?fc)?G(f?fc)????4
122fs(1?P)2G(0)??(f?fc)??(f?fc)?41，上式变为 2当数字信号码元1和0统计独立且概率相等是，P?PE(f)?1?22fsG(f?fc)?G(f?fc)???16? (2)
122fsG(0)??(f?fc)??(f?fc)?16考虑到幅度为1，周期为Ts的矩形脉冲频谱为
G(f)?TsSa(?Tsf)?Tssin?Tsf
?TsfG(0)?Ts
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将上述两式代入(2)式，得到2ASK信号的功率谱密度具体表达式如下：
sin?(f?fc)Ts1sin?(f?fc)TsPE(f)???Ts?(f?fc)Ts?(f?fc)Ts (3)
1??(f?fc)??(f?fc)?16223、2ASK信号的功率谱密度分析
根据式(3)，可以绘出2ASK信号功率谱密度曲线如下图所示。
从上图可以看出，2ASK信号的功率谱密度是对单极性矩形脉冲信号s(t)的功率谱密度的搬移，并且幅度有所降低，符合(1)式的理论结果。
四、心得体会
作为通信专业的研究生，我越来越认识到数学在通信中所起的作用，由于通信信号一般都是随机信号，因此随机过程更是与通信信号的分析密不可分。通过随机过程的学习，重温之前专业课所讲的知识，并运用随机过程相关知识对结果进行推导，不仅使我清楚了2ASK信号的功率谱密度是如何得到的，加深了对知识的理解，而且也是一种思维的锻炼，启发我从理论的高度（而不是仿真的角度）思考结果为什么会这样。相信随着课题研究的深入，我能更加体会到随机过程的重要性，体会到数学的重要性。
但我同时明白，数学思维的训练不是一时半会就能收到效果的，需要持之以恒不断的努力、做好长期的打算。既然选择了这条路，就不能抱有退缩的想法。
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参考文献
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[5] 张媛. 基于功率谱分析的信号调制方式识别与参数估值. 天津:天津理工大学出版社, 2013.
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