2012中考数学专题：圆的综合复习
一、考点定位：
1、圆的有关性质； 2、直线和圆的位置关系 3、与圆有关的比例线段 4. 圆和圆的位置关系 5、和圆有关的计算
二．主干梳理：
1、对称性：a：圆的对称性，虽然其它一些图形也是有，但圆有无数条对称轴这个特性其它图形所没有的，垂径定理，切线长定理，及正n边形的计算都应用到了这个特性。 b：旋转不变性，圆心角、弧、弦、弦心距关系，遇到有关圆习题，要抓住这个特性充分利用，许多问题可以找到解题思路。
2、三个角：圆心角、圆周角，以及圆内接四边形的外角(对角)这是在有关圆的问题中，找角相等必不可少的方法。
3、三个垂直：垂径定理，直径所对的圆周角，切线的性质它可以有效的把许多问题转化到直角三角形中，使问题得以解决。
4、四大关系：点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，圆与正多边形的关系，掌握切线的判定和性质以及有关计算是重点。
5、有关计算问题：有关线段的计算，正多边形的计算，有关扇形及阴影面积的计算，以及圆柱、圆锥侧面展开图的计算。
6、圆中添辅助线一般方法：添与垂径定理相关的辅助线，添与切线有关的辅助线(创造直角的辅助线)，添与圆内接四边形相关的辅助线;两圆相交时作公共弦，两圆相切时作公切线，总之添辅助线时，要构造和完善基本图形，切忌破坏图形的完整性。 1.（2010年广西桂林 ）如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30，则∠A的度数为（ ）．
A.30? B.45? C.60? D.75? 答案：C
2.(2010年厦门 )如图，正三角形ABC内接于⊙Ｏ，动点Ｐ在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于
1题图
?路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 1
A．30? B．60? C．90? D．45? 答案：B
C
BOAPBDCA
4题图
5题图
O第2题
3题图
3.（2010年铁岭 ）已知AB是半圆O的直径，∠BAC=32o，D是弧AC的中点，那么∠DAC的度数是（ ）
A.25o B.29o C.30o D.32° 答案：B 4.（安徽）如图一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的弧AB)，点O是这段弧的圆心，C是 弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D， AB=300m，CD=50m，则这段弯路的半径是 m．5 . 如图，当半径为30cm的转动轮转过120?角时， 传送带上的物体A平移的距离为 cm。
A．900? B．300? C．60? D．20?
6.（芜湖市)如图所示，在圆⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（ ）
A．19 B．16 C．18 D．20
6题图
7题图
7．如图，AB、AC是⊙O的切线，将OB延长一倍至D，若∠DAC=60°，则∠D= ． 8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连结AC，则图中阴影部分的面积为 ．
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB=2，以AB为直径的圆交BC于D， 求图形阴影部分的面积．
9题图 思路点拨：连接AD，则阴影面积等于△ACD的面积，即等于△ABC面积的一半．
10.（2010年湖南模拟）如图 ,以△ACF的边AC为弦的圆交AF、CF于点B、E,连结BC,且满足AC2=CE·CF.求证:△ABC为等腰三角形.
路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 2 A第10题 8题图
CEBF
证明:连结AE.∵AC=CE·CF,∴
2
ACCE?CFAC
又∵∠ACE=∠FCA.∴△ACE∽△FCA.
?. ∴∠AEC=∠FAC. ∵?AC?BC ∴AC=BC,∴△ABC为等腰三角形.
11.（2010年 湖里区）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E， DA平分∠BDE。
（1）求证：AE是⊙O的切线。 （2）若∠DBC=30°，DE=1 cm，求BD的长。 （1）证明：连结OA ∵AD平分∠BDE
∴∠ADE＝∠ADO ∵OA=OD
∴∠OAD＝∠ADO ∴∠ADE＝∠OAD
BOCAED第11题图
∴OA∥CE ∵AE⊥CD ∴AE⊥OA ∴AE是⊙O的切线
（2）∵BD是⊙O的直径 ∴∠BCD＝90°
∵∠DBC=30° ∴∠BDE＝120° ∵AD平分∠BDE ∴∠ADE＝∠ADO=60° ∵OA=OD ∴△OAD是等边三角形 ∴AD=OD=在Rt△AED中，DE=1，∠ADE=60° ∴AD=
DEcos60?12BD
= 2 ∴BD=4
12.（2010年杭州）已知：如图，AB是⊙O的直径，点C、D为圆上两点，且弧CB＝弧CD，
CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E．
（1）试说明：DE＝BF；
（2）若∠DAB＝60°，AB＝6，求△ACD的面积． （1）∵ 弧CB=弧CD ∴ CB=CD，∠CAE=∠CAB
又∵ CF⊥AB，CE⊥AD ∴ CE=CF ∴ △CED≌△CFB ∴ DE=BF （2）易得：△CAE≌△CAF 易求：CF?323 BF?32
12 E D C A B O F 12题图 ∴ S?ACD?S?ACE?S?CDE?S?ACF?S?CFB?
?(AB?BF)?CF?943
13．（湖南长沙 ）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°。
路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 3
（1）求∠B的大小：
（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长。
【答案】解：（1）∵∠CAB=∠CDB（同弧所对的圆周角相等），∠CAB=40°，
∴∠CDB=40°。
又∵∠APD=65°，∴∠BPD=115°。
∴在△BPD中，∴∠B=180°－∠PDB－∠BPD=25°。 （2）过点O作OE⊥BD于点E，则OE=3。
∵AB是直径，∴AD⊥BD（直径所对的圆周角是直角）。∴OE∥AD。 又∵O是AB的中点，∴OE是三角形ABD的中位线。∴AD=2OE=6。
14.如图,点C平分弧AB,CM⊥AO于点M,CN⊥OB于点N,则CM与CN有什么关系?为什么
14题
15.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O 于点C，且∠DAC＝∠BAC，(1)试说明：AD⊥CD；(2)若AD＝4，AB＝6，求AC.
D
C B · A O
16.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于F.（1）若C F长为
23
π，求圆心角∠CBF的度数；
B C （2）求图中阴影部分的面积（结果保留根号及π的形式）.
A F 16题
D 路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 4
17.⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K． （1）求证：四边形OCPE是矩形；
KHEP（2）求证：HK＝HG；
G（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长． B解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，∴OD⊥AB，∠PCO＝90°
∵PE∥OD,∴∠P＝90°，∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，
(2分)∴四边形OCPE是矩形.
(2)∵OG＝OD,∴∠OGD＝∠ODG.∵PE∥OD, ∴∠K＝∠ODG. ∵∠OGD＝∠HGK,∴∠K＝∠HGK, ∴HK＝HG.
FOCAD第17题
(3)∵EF＝2，OF＝1,∴EO＝DO＝3.(6分)∵PE∥OD，∴∠KEO＝∠DOE，
∠K＝∠ODG. ∴△OFD∽△EFK，(7分)∴EF∶OF＝KE∶OD＝2∶1,∴KE＝6.(8分)
18.直线AB经过?O上的点C，并且OA?OB，CA?CB，?O交直线OB于E，D，连接EC，CD．
（1）求证：直线AB是?O的切线；
（2）试猜想BC，BD，BE三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若tan?CED?12，?O的半径为3，求OA的长．
解：（1）证明：如图3，连接OC． ?OA?OB，CA?CB，?OC?AB．?AB是?O的切线．
（2）BC?BD?BE． ?ED是直径，??ECD?90．??E??EDC?90．
?又??BCD??OCD?90，?OCD??ODC，??BCD??E．
2??又??CBD??EBC，?△BCD∽△BEC．?（3）?tan?CED?12BCBE?BDBC．?BC?BD?BE．
BDBC?CDEC?122，?CDEC?12．?△BCD∽△BEC，?．
22设BD?x，则BC?2x．又BC?BD?BE，?(2x)?x?(x?6)．
解之，得x1?0，x2?2．?BD?x?0，?BD?2．?OA?OB?BD?OD?3?2?5． 19.（北京）已知：如图，在Rt△ABC中，?C?90，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且?CBD??A．
路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 5 D A
E B
C ?O
（1）判断直线BD与?O的位置关系，并证明你的结论； （2）若AD:AO?8:5，BC?2，求BD的长． 解：（1）直线BD与?O相切． 证明：如图1，连结OD．
?OA?OD，??A??ADO．
??C?90， ??CBD??CDB?90．又??CBD??A，
??C D ??ADO??CDB?90．??ODB?90．?直线BD与?O相切．
??A
（2） 如图1，连结DE．?AE是?O的直径， ??ADE?90?．
?AD:AO?8:5?cos?CBD?BCBD?cosA??45ADAE?45O E 图1 B
??C?9052?，?CBD??A，
?BC?2， ?BD?
20.（08山东泰安24题）如图所示，△ABC是直角三角形，?ABC?90?，以AB为直径的
?O交AC于点E，点D是BC边的中点，连结DE． （1）求证：DE与?O相切；
A O B E D C （2）若?O的半径为3，DE?3，求AE． （1）证明：连结OE，BE
?AB是直径?BE?AC?D是BC的中点 ?DE?DB??DBE??DEB又OE?OB
??OBE??OEB??DBE??OBE??DEB??OEB
（第20题）
即?ABD??OED但?ABC?90???OED?90??DE是?O的切线 （2）?AC??BE?AB?BCACAB?BC23?64322?(23)?6?43 2222??3 ?AE?AB?BE?12?9?3 21.（08年江苏连云港 ）如图，△ABC内接于?O，AB为?O的直径，?BAC?2?B，AC?6，过点A作?O的切线与OC的延长线交于点P，求PA的长． B ?解：?AB是?O的直径，??ACB?90．又?BAC?2?B，
??B?30，?BAC?60．
??O C P
又OA?OC，所以△OAC是等边三角形，由AC?6，知OA?6．
?PA是?O的切线，??OAP?90．
?在Rt△OAP中，OA?6，?AOC?60，
?A 第21题图
所以，PA?OAtan60?63．
?路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 6