第3章 多维随机变量及其分布习题参考答案
3.1 二维离散型随机变量习题答案 1. 解：?1? 在有放回抽样情形下
?X,Y?的可能取值为?0,0?,?0,1?,?1,0??1,1?，则?X,Y?的联合分布律为
111144P?X?0,Y?0????，P?X?0,Y?1????
552555254144416P?X?1,Y?0????，P?X?1,Y?1????
55255525即?X,Y?的联合分布律为： Y X 0 1 0 1 1 254 25 4 2516 25 ?2? 在不放回抽样的情形下
?X,Y?的可能取值为?0,1?,?1,0??1,1?，则?X,Y?的联合分布律为
141411??，P?X?1,Y?0???? 545545433??? P?X?1,Y?1?545 P?X?0,Y?1?? 即?X,Y?的联合分布律为：
Y X 0 1 0 1 1 513 55 0 2. 解：?1? 由?X,Y?的联合分布律的性质：
??pi?1j?1????ij?1可知
1
0.07?0.18?0.15?0.08?a?0.20?1， 得a?0.32
(2)P?X?Y??P?X?0,Y??1??P?X?1,Y??1??P?X?1,Y?0?
?0.07?0.08?0.32?0.47
?3?X的可能取值为0，1，则?X,Y?关于X的边缘分布律为
p0??0.07?0.18?0.15?0.40，p1??0.08?0.32?0.20?0.60 即
X 0 1 0.40 0.60 pi? Y的可能取值为?1，0，1，则?X,Y?关于Y的边缘分布律为
p??1?0.07?0.08?0.15p?1?0.15?0.20?0.35 即
，
p?0?0.18?0.32?0.50，
Y p?j ?1 0 1 0.15 0.50 0.35 ?4?X与Y不独立. 因为
P?X?0,Y??1??0.07?P?X?0?P?Y??1??0.40?0.15?0.06，由定理3.1可知X与Y不独立.
3. 解：由题意知，X?B?2,0.2?，Y?B?2,0.5?，则由X与Y独立可知 P?X?,iY??j??PX??iY?P??
i2?ijj2?ji ?C2?0.2??0.8?C2j?0.5??0.5?i,j?0,1,2. ，
即?X,Y?的联合分布律为
2
Y X 0 1 2
0 1 2 0.16 0.32 0.16 0.08 0.16 0.08 0.01 0.02 0.01 4. 解：关于X的边缘分布律为
X 1 2 pi?
11 ?a?b 33关于Y的边缘分布律为
1 2 3 Y p?j 111?b ?a 2189 由X和Y相互独立，得
?11?1??PX?1,Y?2?PX?1PY?2???a?????????93?9?? ??1?P?X?1,Y?3??P?X?1?P?Y?3??1??1?b????3?18??1821 所以 a?，b?.
993.2 二维连续型随机变量习题答案
1. 解：?1? 由二维联合分布函数的性质得：
????Fx,???AB?arctanxC????????0?2??1??A?2???????. ?F???,y??A?B???C?arctany??0 解三个方程得?2????B?C?????2??????F??,???AB?C??1???????2??2???
3
?2? 由二维联合密度函数的性质得：当???x,y???时,
?2F?x,y?1?1??1?. ?A?f?x,y???2??2?2221?x1?y?x?y??????1?x??1?y? ?3? 关于X的边缘分布函数为 FX?x??F?,x??Fx,??y??lim?y???1???????arctaxn???2???2??22 ??? ?1????arctanx?， ???x??? ??2?? 关于Y的边缘分布函数为
FY?y??F???,y??limF?x,y??x???1?????????arctany????2??22??2?
?1????arctany?， ???y??? ??2??2. 解：?1? 由联合密度函数的规范性得： 1? k??????????f?x,y?dxdy????0??0???0ke??3x?2y?dxdy，即
k?1，即k?6 6???0e?3xdx?e?2ydy?1，由定积分的知识得：
?2?P?X?Y??x?y??f?x,y?dxdy??dx?6e0x??????3x?2y?dy 3. 5?6?e?3xdx?e?2ydy?3?e?5xdx?0x0???????3?
X与Y相互独立.
关于X的边缘密度函数为
????3x?2y??dy,x?0?3e?3x,x?0??06e ??f?x,y?dy??0, 其他??0, 其他? fX?x???????关于Y的边缘密度函数为
4
fY?y???????????3x?2y??dx,y?0?2e?2y,y?0??06e f?x,y?dx????0, 其他??0, 其他?因为f?x,y??fX?x?fY?y?对一切实数成立，所以X与Y相互独立. 3. 解：?1? 由联合密度函数的规范性得：1???????????f?x,y?dxdy
??100?21?21?1??A?x2?x?dxdy?A??x2?x?dx?dy?A, 即 A?1.
03?03????2? 关于X的边缘密度函数为 fX?x??????? yf?,x?yd?2?21???21?x?xdy,0?x?1??0??2?x?x?,0?x?1? ??????3?3??0, 其他?0, 其他??(3)P?X?Y?2??x?y?2??f?x,y?dxdy
2?x1?52?23?21????x?x?dx?dy????x3?x2?x?dx?003?033?36??1
(4)fY?y????????1?21??1x?xdx,0?y?2?,0?y?2?? f?x,y?dx???0??3???2??0, 其他?0, 其他?因为f?x,y??fX?x?fY?y?对一切实数成立，所以X与Y相互独立.
4. 解：由题意知X与Y的密度函数分别为
?1?2e?2y,y?0?,0?x?2 fX?x???2 ， fY?y???
0, 其他 ???0, 其他?1? 由于X与Y相互独立，则
5