7?2?COA?????
623751?BOC??????
663∴
在
Δ
AOB
中
，
由
余
弦1?7 2定于理得
|AB|?|OB|2?|OA|2?2|OB|?|OA|cos?3?82?52?2?8?5?同理，得|BC|?|OB|2?|OC|2?2|OC|?|OB|cos?3?82?32?2?8?3?1?7 2|AC|?|OA|2?|OC|2?2|OC|?|OA|cos2?1?52?32?2?3?5??7 32即 |AB|=|BC|=|AC| ∴ΔABC为正三角形。
证法二：把A、B、C的极坐标转化成直角坐标，利用两点间的距离公式也可。
17．（14分）解：由(x?1)2?(y?2)2?4可知曲线表示以（1，-2）为圆心，半径等于2的圆。
?，则 令 x?1?2cos? y??2?2sinS?3x?y?3(1?2cos?)?(?2?2sin?)?5?6cos??2sin??5?210sin(???)
其中tan??6??3∴当sin(???)?1时，S有最大值，为Smax?5?210 ?2当sin(???)??1时，S有最小值，为Smin?5?210 ∴S最大值为Smax?5?210；S最小值为Smin?5?210。 18．（14分）解法一：∵抛物线标准方程为x?21y 2y P M 0 x 1?x?t112∴它的参数方程为?2 得 M(t，t)
?221?y?t22?0?x?1?x?tt??设P（x，y），则M是OP的中点∴2 即 （t为参数）消去参数t，得y?22?1y?t0?y??t2?2?2?x2
1）的抛物线。 4xy解法二：设P（x，y），M（x0，y0），则由中点坐标公式，得 x0? y0?
22∴所求P点的轨迹方程为y?x；它是以y轴为对称轴，焦点为（0，
2
∵M点在抛物线上∴M（
xyyx?2?()2 即 y?x2 。 ，）适合方程y?2x2 即
2222y A 0 M x 19．（14分）解：⑴．∵OA的方程为y?kx
∴联立方程??y?kx2p2px?y? 解得 AA22kky?2px?1?1?y??x以?代上式中的k，解方程组?k
k2??y?2px解得 xB?2pk2 yB??2pk∴A（
B 2p2p2，），B（，?2pk）。 2pk2kk11?y?p(?k)k??2⑵．设AB中点M（x，y），则由中点坐标公式，得?x?p(k2?k)
?消去参数k，得y2?px?2p2 ；即为M点轨迹的普通方程。 20．（14分）解：如图，以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，建立直角坐标系，则现在台风中心B1的坐标为（-300，0）。根据题意，可知，t小时后，B的坐标为（?300?40tcos45?，
B2 B1 0 A x y 40tsin45?），即（?300?202t，202t），因为以台风
中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以B在圆上或圆内时，气象台将受台风影响。 所以令|AB|?250，即(?300?202t)2?(202t)2?2502 整理得16t?1202t?275?0解得
2152?57152?57?t?，1.99?t?8.61
44故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时。