基尔霍夫定律的内容已经介绍，而且在（不含源）部分电路中已经做过了应用。但是在比较复杂的电路中，基尔霍夫第一定律和第二定律的独立方程究竟有几个？这里需要补充一个法则，那就是——
基尔霍夫第一定律的独立方程个数为节点总数减一；
基尔霍夫第二定律的独立方程个数则为独立回路的个数。而且，独立回路的个数m应该这样计算 m = p ? n + 1
其中p为支路数目（不同电流值的数目），n为节点个数。譬如，在图8-15所示的三个电路中，m应该这样计算
甲图，p = 3 ，n = 2 ，m = 3 ?2 + 1 = 2 乙图，p = 6 ，n = 4 ，m = 6 ?4 + 1 = 3 丙图，p = 8 ，n = 5 ，m = 8 ?5 + 1 = 4
以上的数目也就是三个电路中基尔霍夫第二定律的独立方程个数。
思考启发：学员观察上面三个电路中m的结论和电路的外部特征，能得到什么结果？ ☆学员：m事实上就是“不重叠”的回路个数！（可在丙图的基础上添加一支路验证…）
【物理情形1】在图8-16所示的电路中，ε1 = 32V，ε2 = 24V，两电源的内阻均不计，R1 = 5Ω，R2 = 6Ω，R3 = 54Ω，求各支路的电流。
【模型分析】这是一个基尔霍夫定律的基本应用，第一定律的方程个数为 n ? 1 = 2 ，第二方程的个数为 p ? n + 1 = 2
由第一定律，有 I3 = I1 + I2
由第二定律，左回路有 ε1 ? ε2 = I1R1 ? I2R2 左回路有 ε2 = I2R2 + I3R3 代入数字后，从这三个方程不难解出 I1 = 1.0A ，I2 = ?0.5A ，I3 = 0.5A
这里I2的负号表明实际电流方向和假定方向相反。
【答案】R1的电流大小为1.0A，方向向上，R2的电流大小为0.5A，方向向下，R3的电流大小为0.5A，
方向向下。
【物理情形2】用基尔霍夫定律解图8-14甲所示中R5的电流（所有已知条件不变）。
【模型分析】此电路p = 6 ，n = 4 ，故基尔霍夫定律方程个数为3 ，第二定律方程个数为3 。
为了方便，将独立回路编号为Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ ，电流了三个未知量I1 、I2和I3 ，其它三个电流则直接用三一定律方程表达出来，见图8-17 。这样，我们只要解基尔霍夫第二定律方程就可以了。
对Ⅰ回路，有 I2R1 + I1R5 ? I3R3 = 0
即 2I2 + 1I1 ? 1I3 = 0 ① 对Ⅱ回路，有 (I2 ? I1)R2 ? (I1 + I3)R4 ? I1R5 = 0 即 1(I2 ? I1) ? 2(I1 + I3) ? 1I1 = 0 ② 对Ⅲ回路，有 ε = I3R3 + (I1 + I3)R4
即 1.4 = 1I3 + 2(I1 + I3) ③
解①②③式不难得出 I1 = ?0.2A 。（I2 = 0.4A ，I3 = 0.6A） 【答案】略。
【物理情形3】求解图8-18所示电路中流过30Ω电阻的电流。 【模型分析】基尔霍夫第一定律方程2个，已在图中体现 基尔霍夫第二定律方程3个，分别为——
对Ⅰ回路，有 100 = (I2 ? I1) + I2·10 ① 对Ⅱ回路，有 40 = I2·10 + I1·30 ? I3·10 ② 对Ⅲ回路，有 100 = I3·10 + (I1 + I3) ·10 ③ 解①②③式不难得出 I1 = 1.0A 。（I2 = 5.5A ，I3 = 4.5A） 【答案】大小为1.0A，方向向左。
〖小结〗解含源电路我们引进了戴维南定理和基尔霍夫定律两个工具。原则上，对任何一个问题，两种方法都可以用。但是，当我们面临的只是求某一条支路的电流，则用戴维南定理较好，如果要求求出多个（或所有）支路的电流，则用基尔霍夫定律较好。而且我们还必须看到，随着独立回路个数的增多，基尔霍夫第二定律的方程随之增题的麻烦程度随之增大。 三、液体导电及其它
多，解只设个第三个第一电路
【物理情形】已知法拉第恒量F = 9.65×104C/mol ，金的摩尔质量为0.1972kg/mol ，金的化合价为3 ，要想在电解池中析出1g金，需要通过多少电量？金是在电解池的正极板还是在负极板析出？
【解说】法拉第电解定律（综合形式）的按部就班应用，即 Q = 1.0×10?3kg ，n = 3）即可。
【答案】需要1.47×103C电量，金在负极板析出。
【相关应用】在图8-19所示的装置中，如果在120分钟内淀3.0×1022个银原子，银的化合价为1 。在电流表中显示的示数是少？若将阿弗伽德罗常数视为已知量，试求法拉第恒量。
【解说】第一问根据电流定义即可求得； 第二问 F =
3.0?1022?1.6?10?19MQM =
3.0?1022mnM6.02?1023mFn ，代入相关数据（其中m = M积多
【答案】0.667A；9.63×104C/mol 。 四、问题补遗——欧姆表
图8-20展示了欧姆表的基本原理图（未包括换档电路），虚线方框内是欧姆表的内部结构，它包含表头G、直流电源ε（常用干电池）及电阻RΩ 。
当被测电阻Rx接入电路时，表头G电流 I =
?
Rg?r?R??Rx可以看出，对给定的欧姆表，I与Rx有一一对应的关系，由表头指针的位置可以知道Rx的大小。为了读数方便，事先在盘上直接标出欧姆值。
考查I（Rx）函数，不难得出欧姆表的刻度特点有三：①大左边、小值在右边；②不均匀，小值区域稀疏、大值区域密集；有明确的量程，最右边为零，最左边为∞ 。
所以刻度
值在③没
欧姆表虽然没有明确的量程，并不以为着测量任何电阻都是准确的，因为大值区域的刻度线太密，难以读出准确读数。这里就有一个档位选择问题。欧姆表上备有“×1”、“×10”、“×100”、“×1k”不同档位，它们的意义是：表盘的读数乘以这个倍数就是最后的测量结果。比如，一个待测电阻阻值越20kΩ，选择“×10”档，指针将指在2k附近（密集区），不准，选择“×1k”档，指针将指在20附近（稀疏区），读数就准确了。
不同的档位是因为欧姆表的中值电阻可以选择造成的。当Rx =（Rg + r + RΩ）时，表头电流I =
1Ig ，指2针指在表盘的几何中心，故称此时的Rx——即（Rg + r + RΩ）——为中值电阻，它就是表盘正中刻度的那个
数字乘以档位倍数。很显然，对于一个给定的欧姆档，中值电阻（简称R中）应该是固定不变的。
由于欧姆表必须保证Rx = 0时，指针指到最右边（0Ω刻度），即
?= Ig
Rg?r?R?这个式子当中，只有Rg和Ig是一成不变的，ε 、r均会随着电池的用旧而改变（ε↓、r↑），为了保证方程继续成立，有必要调整RΩ的值，这就是欧姆表在使用时的一个必不可少的步骤：欧姆调零，即将两表笔短接，观察指针指到最右边（0Ω刻度）即可。
所以，在使用欧姆表时，选档和调零是必不可少的步骤，而且换档后，必须重新调零。
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【相关问题1】当欧姆表的电池用旧了之后，在操作规范的前提下，它的测值会 （填“偏大”、“偏小”或“继续准确”）。
【解说】这里的操作规范是指档位选择合适、已正确调零。电池用旧后，ε↓、r↑，但调零时，务必要使RΩ↓，但Rg + r + RΩ = R中 =
??，故R中↓，形成系统误差是必然的。 Ig设新电池状态下电源电动势为ε 、中值电阻为R中 ，用旧状态下电源电动势为ε′、中值电阻为R中′，则针对同一个Rx ，有
新电池状态 I =
Ig?? = =
IgRx?R中?Rx?Rx1?Ig?Ig???? = =
IgRx??R中??Rx?Rx1?Ig??旧电池状态 I′=
两式比较后，不难得出 I′＜ I ，而表盘的刻度没有改变，故欧姆示数增大。 【答案】偏大。
【相关问题2】用万用表之欧姆档测某二极管极性时，发现指针偏转极小，则与红表笔相连接的应为二极管的 极。
【解说】欧姆档指针偏转极小，表明电阻示数很大；欧姆表的红表笔是和内部电源的负极相连的。 【答案】正 。