38. 非平稳时间序列的确定性分析
实际中大多数时间序列是非平稳的，对非平稳时间序列的分析方法主要有两类：确定性分析和随机性分析。
确定性分析——提取非平稳时间序列明显的规律性（长期趋势、季节性变化、周期性），目的是：①克服其它因素影响，单纯测度出单一确定因素对序列的影响；②推断各种确定性因素彼此之间相互作用关系及它们对序列的综合影响。
随机性分析——分析非平稳时间序列由随机因素导致的随机波动性。
（一）趋势分析
有的时间序列具有明显的长期趋势，趋势分析就是要找出并利用这种趋势对序列发展做出合理预测。
1. 趋势拟合法
即把时间作为自变量，相应的序列观察值作为因变量，建立序列值随时间变化的回归模型。分为线性拟合和非线性拟合。
2. 平滑法
利用修匀技术，消弱短期随机波动对序列的影响，使序列平滑化，从而显示出长期趋势变化的规律。
（1）移动平均、加权移动平均 已知序列值x1, …, xt-1, 预测xt的值为
xt?1?xt?2???xt?n?t? xn称为n期移动平均值，n的选取带有一定的经验性，n过长或过短，各有利弊，也可以根据均方误差来选取。
一般最新数据更能反映序列变化的趋势。因此，要突出新数据的作用，可采用加权移动平均法：
?tw?x1n其中，??i?1.
ni?1?1xt?1??2xt?2????nxt?nn
（2）二次移动平均
对应线性趋势，移动平均拟合值有滞后性，可以采用二次移动平均加以改进：对移动平均值再做一次移动平均。
（3）指数平滑法
指数平滑法是一种对过去观察值加权平均的特殊形式，观测值时间越远，其权数呈指数下降。一次指数平滑法可用于对时间序列进行修匀，以消除随机波动。预测公式为：
?t??xt?(1??)s?t?1 s?t为第t期平滑预测值，?0（通其中α∈(0, 1)为平滑常数，s初始预测值s常取最初几个实测数据的均值）。
一般来说，时间序列有较大的随机波动时，宜选择较大的α值，以便能较快跟上近期的变化；也可以利用预测误差选择。
（4）二次、三次指数平滑法
即对一次指数平滑后的序列再做一次指数平滑，但不是直接将二
次指数平滑值作为预测值，而是利用其来求出方程参数，利用滞后偏差的规律来建立直线趋势模型。计算公式：
?t(1)??xt?(1??)s?t(1)s?1 ?t(2)??s?t(1)?(1??)s?t(2)s?1
??t(1)?s?t(2)) ??s?, bt?(sat?2s1??(1)t(2)t?t?m?at?btm x(2)(1)?0?0其中，m为预测超前期数，取s. ?s（5）霍尔特双参数线性指数平滑法
?为趋势增量。用趋势增量来修正，消除设α, β∈(0, 1)为参数，bt了滞后性，对数据进行平滑：
?) ?t??xt?(1??)(s?t?1?bst?1用指数平滑法估计趋势增量，对相邻两次平滑之差做修正，再加上前期趋势增量，对趋势进行平滑：
???(s? ?t?s?t?1)?(1??)bbtt?1计算超前m期的预测值：
?m ?t?m?s?t?bxt??x?x. ?1?x1, b初值的选取：s121
（二）时间序列的分解
一、Gramer分解定理
1963年，Gramer在Wald分解定理的基础上，得到了Gramer分
解定理：
任一时间序列{Xt}都可以分解为叠加的两部分：由多项式决定的确定性趋势成分，平稳的零均值误差成分，即
Xt?ut??t???jtj??(B)?t
j?0d其中，?t为0均值白噪声序列，B为延迟算子，且
E(?t)?E(?(B)?t)??(B)E(?t)?0
E(Xt)?E(ut)?E(??jt)???jtj
jj?0j?0dd即均值序列??jtj反映了{Xt}受到的确定性影响，而{?t:?t??(B)?t}j?0d反映了{Xt}受到的随机影响。
Gramer定理说明任何一个序列的波动都可以视为同时受到了确定性影响和随机性影响的综合作用。平稳时间序列要求这两方面的影响都是稳定的，而非平稳时间序列产生的机理就在于它所受到的这两方面的影响至少有一方面是不稳定的。
二、时间序列的结构形式
非平稳时间序列(xt)的确定性因素分为4种：
（1）趋势变化因素(Tt)——表现出某种倾向，上升或下降或水平； （2）季节变化因素(St)——周期固定的波动变化； （3）循环变化因素(Ct)——周期不固定的波动变化；
（4）不规则因素(εt)——随机波动，由许多不可控的因素影响而引起的变化。
时间序列{Xt}的结构形式有三种： （1）加法模式：xt=Tt+St+Ct+εt （2）乘法模式：xt=TtStCtεt （3）混合模式：xt=TtStCt+εt
上述模式中，趋势变化Tt是基础，其它变化与趋势变化结合，构成序列{xt}. 在加法模式中，各变化因素均与xt的单位相同；在乘法模式中，Tt与xt有相同的单位，其它因素的变化均数比例值；在混合模型中，Tt、εt与xt有相同的单位，St和Ct是比例值。各式中的随机因素εt，均假定为独立的、方差不变的、均值为0的白噪声序列。在这些假定下，对时间序列进行分解。
三、时间序列的传统分解法步骤
1. 分解出长期趋势因素与循环因素
设序列的季节长度为4（一年分为4季）。由假定E(εt)=0，故只要对序列xt作移动长度为4的移动平均，就可消除季节和随机波动的影响（因为随机波动有正波动和负波动，一做平均，正负波动就相互抵消，随机波动影响就接近于零）。记移动平均值为：
则移动平均后的序列，即为序列的趋势因素和循环因素。类似地，若序列按月份周期，则取12。
2. 分解季节因素与随机因素
考虑乘法模式xt=TtStCtεt，则两边同除以xtMA得