“十校”2013—2014学年度高三第一次联考
理科数学试题
第Ⅰ卷 （选择题 共4 0分）
一．选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设集合P??3,log2a?，Q??a,b?，若P?Q??0?，则P?Q?（ ） A．?3,0? B．?3,0,2? C． ?3,0? D．?3,0,1,2? ,12．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是
????????zOA，OB，则复数1对应的点位于（ ）
z2B.第二象限 D.第四象限
A.第一象限 C.第三象限
3．已知等差数列?an?中，a2?5 ，a4?11，则前10项和S10?（ ）
A ． 55 B ． 155 C ． 350 D ． 400 4．学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都在[10,50) （单 位：元），其中支出在?30,50?（单位：元）的同学 有67人，其频率分布直方图如右图所示，则n的值为（ ） A．100 B．120 C．130 D．390
?????????5．平面四边形ABCD中AB?CD?0，
????????????(AB?AD)?AC?0，则四边形ABCD是 （ ）
A．矩形 B．梯形 C．正方形 D．菱形
6． 一个四棱锥的三视图如图所示，其中主视图是腰长为1的等腰 直角三角形，则这个几何体的体积是 A．
13 B．1 C． D．2 22227．下列命题：①函数f(x)?sinx?cosx的最小正周期是?； ②函数f(x)?(1?x)③若
1?x是偶函数； 1?x?a11dx?1(a?1)，则a?e； ④椭圆2x2?3y2?m(m?0)的离心率不确定。 x其中所有的真命题是（ ）
A.①② B.③④ C.②④ D.①③
8．设三位数n?abc，若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n有( )
A．45个 B．81个 C．165个 D．216个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
(一)必做题(9～13题)
?39． 已知sin(??)?,?0?????，则tan?=________．
2210．若(1?2x)5?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5,
则a3= 。
11. 右图是一个算法的程序框图，最后输出的W＝________.
12．在区间[?5,5]内随机地取出一个数a，使得1?{x|2x2?ax?a2?0}
的概率为 ．
13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩
上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图4中的实心点个数1，5，12，22，?， 被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1?1，
第2个五角形数记作a2?5，第3个五角形数记作a3?12，第4个五角形数记作 a4?22，??，若按此规律继续下去，若an?145，则n? ．
1
5
12
图4
22
（二）选做题：第14、1 5题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计
算前一题的得分．
14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知在平面直角坐标系xoy中圆C的参数方程为：
??x?3?3cos?，（?为参数），以OX为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ks5u ?y?1?3sin?????cos(??)?0,6
则圆C截直线所得弦长为 .
的内接三角形， 于点D，
15.(几何证明选讲选做题)如图，△ABC是PA是的切线，PB交AC于点E,交PA=PE,?ABC?
60?，PD=1，PB=9，则EC= 三、解答题（本大题共6小题，满分75分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?31sinπx?cosπx, x?R． 22（1）求函数f(x)的最大值和最小值；
（2）设函数f(x)在[?1,1]上的图象与x轴的交点从左到右分别为M、N，图象的最高点为
P,
?????????求PM与PN的夹角的余弦．
17．（本小题满分12分）
PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可 入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶） （I）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求
恰有一天空气质量达到一级的概率;
（II）从这15天的数据中任取三天数据，记?表示抽到PM2.5 监测数据超标的天数，求?的分布列;
（III）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，
则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到 一级或二级．
19．（本小题满分14分）
设Sn为数列?an?的前n项和，对任意的n?N?，都有Sn?(m?1)?man(m为正常数)． （1）求证：数列?an?是等比数列； （2）数列?bn?满足b1?2a1,bn?bn?1,(n?2,n?N?)，求数列?bn?的通项公式；
1?bn?12n?1（3）在满足（2）的条件下，求数列{cos(n?1)?}的前n项和Tn．
bn
x2y2320．（本大题满分14分）如图，已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，以
ab2椭圆C
的左顶点T为圆心作圆T：(x?2)2?y2?r2(r?0)，设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆的方程； ????C????（2）求TM?TN的最小值，并求此时圆T的方程； y （3）设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点，
且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S，O为坐标原点， P求证：OR?OS为定值． M 21．（本大题满分14分） 已知函数 RTSOxx2f(x)?ln(2ax?1)??x2?2ax(a?R).
3
（1）若x=2为f(x)的极值点，求实数a的值；
（2）若y?f(x)在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围；
N1(1?x)3b?有实根，求实数b的最大值。 （3）当a??时，方程f(1?x)?23x“十校”2013—2014学年度高三第一次联考
理科数学答案
一、选择题 C B B A D A D C
1. 【答案】C 【解析】由P?Q??0?,得log2a?0∴a?1，从而b=0，P?Q??3,0,1 ?，，
2．【答案】B 【解析】复数z1??2?i，z2?i，
z1?2?i?(2?i)i????1?2i， 2z2ii3．【答案】B 【解析】由??a2?a1?d?5?a?2?1)??1?S10?10a1?10(10d?155。 2?a4?a1?3d?11?d?3)?10?0.67， 4．【答案】A 【解析】支出在?30,50?的同学的频率为1?(0.01?0.023n??????????????????????5．【答案】D 【解析】AB?CD?0?AB??CD?DC?ABCD是平行四行边形， ????????????????????????????(AB?AD)?AC?DB?AC?0?DB?AC，?平行四行边形ABCD是菱形。
6．【答案】A 【解析】四棱锥如图，V?67?100。 0.671121?(1?2)?2?? 32227．【答案】D 【解析】①f(x)??(cos2x?sin2x)??cos2x,T?②
2??? 21?x?0??1?x?1, f(x)定义域不关于原点对称，f(x)不是偶函数。 1?x③若
?a1a1dx?lnx?lna?ln1?lna?1?a?e，则a?e；ks5u
1x22222④2x2?3y2?m(m?0)?x?y?1,a2?m,b2?m,e2?c2?a?2b?1?e?32333aamm23（确定）
8．【答案】C 【解析】a,b,c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即a,b,c?{1,2,3,???,9} （1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为n1，由于三位数中三个数码都相同，所
1以，。n1?C9?9（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为n2，由于三位数中只有2个不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的数2码组（a，b）共有2C9组。但当大数为底时，设a>b，必须满足b?a?2b。此时，不能构
成三角形的数码是 a b 9 8 7 6 5 4 3 2 1 4，3 4，3 3，2 3，2 2，1 2，1 1 1 1，2 1，2 1 1 2共20种情况。 同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有C3种情况。 22故n2?C3(2C9?20)?156，。 综上，n?n1?n2?165。
二、填空题：9．
3；10． 80 ； 11． 22 ； 13． 10 ；14． 42；15． 4 。 39．【答案】?333 【解析】 sin(??)?cos??,?0?????所以??300，tan?=
2233310．【答案】80 【解析】T3?1?C5(2x)3?80x3，a3?80
11．【答案】22 【解析】第1次运算得：S=1，T=3 ；第2次运算得：S=8 ，T= 5 ；第3
次运算得：S=25－8 =17>10, 这时输出的W＝17+5=22 12．【答案】
3222【解析】由1?x|2x?ax?a?0，得a?a?2?0??1?a?2， 10
??所以所求概率为
3． 1013．【答案】10 【解析】由于a2?a1?4,a3?a2?7,a4?a3?10,???，
类比得an?an?1?4?3[(n?1)?1]?3n?2
所以an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?????(an?an?1)?1?4?7?????(3n?2)
?1?3n?23n?13n?129n?n，由an?n?145，得n?10或n??（舍） 2223??x?3?3cos?14．【答案】42【解析】圆C的参数方程为?的圆心为(3,1),半径为3,
??y?1?3sin?