专题六 概率与统计
第1讲 排列与组合、二项式定理
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
1．有5名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有一人参加，其中甲同学不能参加跳舞比赛，则参赛方案的种数为________(用数字回答)．
2．(1－2)＝a＋b2 (a，b为有理数)，则a－2b＝______.
3．将5名志愿者分配到3个不同的世博会展览馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为_______________．
4．若(1＋mx)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a6x，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为________．
5．(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)
6．(2011·安徽)设(x－1)21＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a21x21，则a10＋a11＝________.
7．若对于任意实数x，有x＝a0＋a1(x－2)＋…＋a5(x－2)，则a1＋a3＋a5－a0＝________.
?x＋1?8
8． ?4?的展开式中，含x的非整数次幂的项的系数之和为________．
?x?9．某班级有一个7人小组，现任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案的种数为________．
10．(2011·大纲全国)(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为________． 11．有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有数字1,2,3,4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，则不同的排法共有________种．(用数字作答) ?x＋1?812.?4?展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为________(用数字作答)． ?x?
二、解答题
2
13．如果?3x2－3?n的展开式中含有非零常数项，求正整数n的最小值．
?x?
14.从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛，分别按下列要求，各有多少种不同选法？
(1)男、女同学各2名；
(2)男、女同学分别至少有1名；
(3)在(2)的前提下，男同学甲与女同学乙不能同时选出．
15．已知(1＋2x)的展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，而又等于它后一5
项系数的.
6
(1)求展开后所有项的系数之和及所有项的二项式系数之和； (2)求展开式中的有理项．
n
5
5
6
2
6
10
2
2
答 案
1．100 2. 1 3．150 4．1或－3 5．146．0 7. 89 8. 184 9. 70 10. 0 11．432 12. 72 13．解 ∵Tr＋1＝Cn(3x)
r
2n－r
rn－rr2n－5r?－23?r＝(－1)r··C3·2·x， n·?x?∴若Tr＋1为常数项，必有2n－5r＝0.
5r
∴n＝，∵n、r∈N*，∴n的最小值为5.
2
214．解 (1) C5C4＝60；
2
32231(2)男、女同学分别至少有1名，共有3种情况：C15C4＋C5C4＋C5C4＝120；
(3)120－(C4＋C4C3＋C3)＝99.
C2＝2Cn2，??n
15．解 根据题意，设该项为第r＋1项，则有?rr5r＋1r＋1
C2＝C2，?n?6nn＝2r－1，C＝C，???nn?
即?r5r＋1亦即?n！n！5
C＝C，＝×，nn???3?r！?n－r?！3?r＋1?！?n－r－1?！解得?
??r＝4，?n＝7.?
r
r－1
rr
r－1r－1
2112
(1)令x＝1得展开式中所有项的系数和为(1＋2)7＝37＝2 187. 所有项的二项式系数和为2＝128.
r
(2)展开式的通项为Tr＋1＝Cr72rx，r≤7且r∈N.
2
0022
于是当r＝0,2,4,6时，对应项为有理项，即有理项为T1＝C072x＝1，T3＝C72x＝84x， 4226633T5＝C472x＝560x，T7＝C72x＝448x.
7