《数系的扩充与复数的引入》复习提纲
第一节：数系的扩充和复数的概念
一、数系的扩充和复数的概念
1．复数的引入：回想数系的每一次扩充都主要来自两个方面：一方面数学本身发展的需要；另一方面由于实际的需要.而复数的引入属于前者． 我们知道，方程x2?1?0在实数范围内无解，于是需引入新数i使方程有解，显然，需要i2 ．
??1．根
据前面规定，－1可以开平方，而且－1的平方根是
入负数入分数入无理数数系的扩充过程：自然数集N 引????????????? 实数集R ?????????? 整数集Z 引?????????? 有理数集Q 引引入虚数??????????
复数集C．
???整数?有理数?分数?实数??数的分类：复数???无理数??虚数（特例：纯虚数）
2．复数的代数形式：由实数的运算类似地得到新数i可以同实数进行加、减、乘运算，于是得到：形如a?bi(a，b?R)的数叫做复数，并且把z?a?bi(a，b?R)的这一表现形式叫做复数的代数形式，其中的a叫做复数的实部，b叫复数的虚部．注意复数 3．复数相等的充要条件
?d?i?b a?bi?c且 注意事项：
?实数a(b?0)?实数集R? （1）复数a?bi? （2）复数集C? ?纯虚数bi(a?0)虚数a?bi(b?0)?虚数集?R???非纯虚数a?bi(a?0)?12?3i的虚部是?3，而不是?3i．
?d(a，b，c，d?R)
（3）两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数，则不能比较大小.（两个复数中若有一个
是虚数，则它们不能比较大小） 二、复数的几何意义
1．复数可以用平面直角坐标系的点来唯一表示，于是： 复数集C??a?bi|a，b?R?与坐标系中的点集?(a，b)|a，b?R?，可以建立一一对应．
来源:Z+xx+k.Com]
2．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴
0)对应复数0．于是有下面的一一对的单位是１，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点(0，应关系：复数Z?a?bi复平面内的点Z(a，b)．
3．由于平面向量与坐标平面的点一一对应，于是有：复数Z一对应?a?bi一??????????????平面向量OZ．
???? 在这些意义下，我们就可以把复数z了方便．
?a?bi说成点Z或向量OZ，这给研究复数运算的几何意义带来
4．复数的模就是这个复数对应的向量的模，复数z?a?bi的模为
z?a?b22．
第二节：复数代数形式的四则运算
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《数系的扩充与复数的引入》复习提纲
一、复数的加法、减法
1、运算法则(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i．其运算法则类似于多项式的合并同类项 2、复数加法的运算律对于任意的z1，z2，z3?C，有：
交换律：z1?z2?z2?z1． 结合律：(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3)． 3、复数加法的几何意义 设OZ1，OZ2分别与复数a??????????????OZ1?OZ2?OZ???????????bi，c?di对应，根据向量加法的平行四边形（三角形）法则，则有
．
????，即得OZ
??????????由平面向量的坐标运算：OZ1?OZ2?(a?c，b?d)与复数(a?c)?(b?d)i对应．
可见，复数的加法可以按向量加法的法则进行． 4、复数减法的几何意义 设OZ1，OZ2分别与复数a
???????????bi，c?di对应，
????????????????．于是：OZ1?OZ2?Z2Z1??????，即得Z2Z1????????????????根据向量加法的三角形法则有：OZ2?Z2Z1?OZ1．
对应．
??????????由平面向量的坐标运算：OZ1?OZ2?(a?c，b?d)与复数(a?c)?(b?d)i 于是得到向量的减法运算法则为：两个复数的差与连接两个向量的终点并指向被减数的向量相对应． 二、复数代数形式的乘法运算
1、运算法则：(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(ad?bc)i．
两个复数的积仍然是一个复数；两个复数相乘类似于两个多项式相乘，只是把i2换为?1，并且把实部与虚部分别合并即可．
·z2?z2·z1．·z2·)z3?z1·(z2·z3)． 2、运算律：交换律：z1 结合律：(z1分配律：z1(z2?z3)?z1z2?z1z3． 3、虚数i的乘方及其规律：i1 可见，i4n?1?i?i，i2??i??1，i??i3，i4??1，i?i5，i6??1，i??i7，i8?1，?．
，i4n?2??1，i4n?3，i4n?1(n?N)，即i具有周期性且最小正周期为4．
4、共轭复数：a?bi与a?bi互为共轭复数，即当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个
复数叫做互为共轭复数．
它的几何意义是：共轭的两个复数关于x轴对称．主要用于复数的化简以及复数的除法运算.
来源性质：Z·Z=| Z |=|Z|；z1?z2?z1?z2 ； Z1?Z2=Z1?Z2； Z1?Z2=Z1?Z2； Z1-Z2=Z1-Z2 ；z2222
?(z)；⑤??z1?z1??z2?z2?；⑥
z2?z·z
设z=a+bi (a,b∈R ),那么Z+Z=2a，Z-Z=2bi； 三、复数代数形式的除法运算 运算法则：
a?bic?di?ac?bdc?d22?bc?adc?d22i(c?di?0)．
其实质是分母“实数化”，即分子以及分母同乘以分母的“实数化”因式．类似于以前所学的把分母
“有理化”．
四、实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:
mnm+nmnmnnnn zz=z, (z)=z, (z1z2)=z1z2.
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《数系的扩充与复数的引入》复习提纲
复数中的几个结论及其应用--复数中成立的公式及结论
一、中点公式：A点对应的复数为a1?b1i(a1?R，b1?R)，B点对应的复数为a2，即
a1?a22?b1?b22?b2i(a2?R，b2?R)，Ci．
点
为A，B两点的中点，则C点对应的复数为
a1?b1i?a2?b2i2?i，2?i，求D点对应例1四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别为1?3i，的复数．
解：由已知应用中点公式可得
2?32?[2?2?(?1)]i?3?5iA，C的中点对应的复数为
32?2i，所以
D点对应的复数为
．
ax?bx?2二、根与系数的关系：若实系数方程
ba1?b1i?a2?b2i??ac?0(a?0)的两复根为a1?b1i，
a2?b2i，则有
，(a1?b1i·)(a2?b2i)?ca．
推论：若实系数方程ax2?bx?c?0(a?0)有两虚数根，则这两个虚数根共轭．
例2 方程x2?ax?b?0的一个根为1?i，求实数a，b的值．
解：已知实系数方程的一个根为1?i，由推论知方程的另一根为1?i，由根与系数的关系可知a??(1?i?1?i)??2，b?(1?i·)(1?i)?2．
三、相关运算性质：
①z为实数
?z?z?z?0?z?z222，z为纯虚数?·；④z1z?0?z?z?0(z?0)2；
②对任意复数有z?z1?z1??z2?z2??z；③z1?z2?z1?z2z2?z1·z2，特别地有z2?(z)2；
⑤?；⑥
z2?z·z．
z1?z22例3 设
1zz?1，且z??i，求证为实数． 证明：由条件可知z?1?0·，则zz?z?1，
所以z??z?1z?zzzzz??????2，?2??1221?(z)z?11?(z)?1?z?1?z21?z2，所以
z1?z2为实数．
来源学科网ZXXK]
四、两则几何意义：
①②
z?z0的几何意义为点z到点z0的距离；
中z所对应的点为以复数z0所对应的点为圆心，半径为r的圆上的点．
，则
z?2?2iz?z0?r(r?0)例4 若z?C，且
解：z?z?2?2i?1的最小值为 ．
2?2i?1即z?(?2?2i)?1，z2)的距离为定值1的所有的点，2)对应的点为到点(?2，即以(?2，为圆心，1为半径的圆O上的点．z半径，可得结果为3．
?2?2i即
z?(2?2i)2)之间的距离减去圆O的，为圆O上的点与点(2，第3页（共3页）