电 磁 学 考 研 辅 导
第一章 静电场 小结
1． 静电场的基本定律
库仑定律 电荷守恒定律 （力的叠加原理） 2. 描述静电场的两个物理量 电场强度 E?F q?a 电位（电势） Va????E?dl
在计算电位时应注意分部(分段)积分，此式是对电场强度沿着某一路径
进行积分
3．两个叠加原理
?n? 电场叠加原理 E??Ei
i?1n 电位叠加原理 V??Vi
i?1 4．静电场的两个基本原理
??E?ds? 高斯定理 ???s?qi?1ni?0
?? 环路定理 ??E?dl?0
l 5．电场强度和电势的关系
??? 积分关系 Va??E?dl
a? 微分关系 E???U
6．形象地描述静电场的两个概念 电场线（电力线） 等位面（等势面） 7．几个重要的概念
?? 电通量 ?e???E?ds
s?? 电 压 uab?Va?Vb??E?dl
ba 1
功和电压的关系 A?qUab
8．应该记住的几个结果和结论
?1Q 点电荷的电场强度 E?
4??0r2 点 电 荷 的 电 位 V?1Q
4??0r??12P 电偶极子的电场强度 延长线上 E? 34??0r??1p 中垂面上 E?? 34??0r 均匀带电直细棒电场强度 有限长的 E??el2??0rr?l22
无限长的 E??e 2??0r 均匀带电无限大薄板 E??e 2?0?e ?0 两个均匀带等量异号无限大薄板 之间 E? 外边 E?0 均匀带电圆形细环轴线上 电场强度 E??ezR2?0(R2?z)322
电 位 U?dQ
4??0r21?eR2?0R?z22 带电体的电场强度 E?? 带 电 体 的 电 位 V?? 说明： 以上是对带电体进行积分
2
dQ
4??0r1利用电场强度的定义式和叠加原理求场强
1 以无限大均匀带电平面，电荷面密度为??，其上挖去一半径为R的圆孔。通过圆孔中心o，并垂直于平面的x轴上有一点p，op?x，试求p点处的电场
?强度E？
解：（1） 取一细圆环带，其半径为r(r?R)，宽度为
dr，面积ds?2?rdr，其上带电量为
dq?2?r?dr
r+dr r . R O . P x 由带电细圆环在轴线上的
qx E?34??0(R2?x2)2 可知，该圆环带在轴线上p点产生电场强度的大小 dE?xdq322
4??0(r2?x)? 各细环带dE在p点的方向均沿ox轴正向，故p点
的总场强方向沿ox轴正方向。总场强的大小为
2??xrdr?x?rdr?x E??dE?? ??33?22R2?04??0(r2?x2)2(r2?x2)22?0R?x
（2） 半径为R的圆孔可看成是其上均匀分布着电荷密度为??的两种电
荷，则p点的场强可看成是电荷面密度为??的无限大均匀带电平面
?在p点的E1；与电荷密度为??半径为R的带电圆盘在p点产生的场???强E2的矢量和。E1和E2的方向均在x轴上，方向相反。
??? E?E1?E2
E?E1?E2???x??(1?)?2?02?02?0R2?x2xR?x22 说明：补偿法是一种常用的简单的计算方法。
3
解法（二）通过补偿法是原问题变为一个无限大均匀带电平面（
?）2?0一个半径为R的带电圆面产生的场强[E??x(1?)]的叠加
222?0R?x问题，借助于已知的典型例子的结果，使问题计算简化。
4
2.一底面半径为R的圆锥体，锥面上均匀带电，电荷面密度为?。证明：锥顶0点的电势为V0??R（设无穷远处电势为0） .。2?0证明：在锥面上取一宽度为dl的环带， 其面积为 ds?2?rdl，所带的电量为 dq??ds??2?rdl 均匀带电圆环在轴线上一点的电位为 V?14??0qR?x22
则带电圆环带在轴线顶点0处的电位为 dV?14??0dqr?x22?14??0?2?rdlr?x22??2?0rdlr?x22
rrdr 如图可知； sin??, l? , dl?lsin?sin?2rrrcos?2r22cos?22?,x?r tg??,x? ，r?x? 。 22xtg?sin?sin?sin? 将以上关系代入dV，则得
drr?sin?? dV??dr
2?0r2?0sin? V??
3. 有一长为l的绝缘细丝非均匀带电，其电荷线密度的变化规律为???0(x?d)，
?细丝沿x轴，它靠近原点的一端距原点0为d，求原点0处的E？（北京）
R0??Rdr? 证毕 2?02?0 解：在细丝上距原点0为x处取 一小线元dl，则其带电为dq??dx
?dq 它在原点0处产生的电场强度为 dE? (方向沿x轴,各dE方向相同) 24??0x1 5