一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练
对于一元二次方程
，当判别式△＝
时，其求根
公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：
；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，
即当，时，那么则是的两根。一元
二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，
也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程在的三种情况，以及应用求根公式求出方程而分解因式，即
根的判别式
的两个根
存，进
。下面就对应用韦达定理可能出现的问题
举例做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。
一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。
例1：已知关于的方程（1）关于的方程（2）
有两个不相等的实数根，且
没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整
数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。
解：∵方程（1）有两个不相等的实数根，
∴
解得；
∵方程（2）没有实数根，
∴
解得
；
于是，同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围是
其中，的整数值有 当 当
解得：
所以，使方程（1）有整数根的的整数值是
。
时，方程（1）为
，有整数根。
时，方程（1）为
，无整数根；
或
说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出题的基本技巧。
二、判别一元二次方程两根的符号。
例1：不解方程，判别方程
分析：对于
来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为
两根的符号。
，这也正是解答本
已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定确定
解：∵
，∴△＝
—4×2×(—7)＝65＞0
或 或
的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要的正负情况。
∴方程有两个不相等的实数根。
设方程的两个根为
，
∵＜0
∴原方程有两个异号的实数根。
说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中虑
三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。
例2：已知方程
分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把
代入原方程，先求出
的一个根为2，求另一个根及
的值。
＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若
＞0，仍需考
的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。
解法一：把 即 解得 当
时，原方程均可化为：
代入原方程，得：
解得：
∴方程
解法二：设方程的另一个根为
根据题意，利用韦达定理得：
，
∵ ∴把
，
即 解得 ∴方程
的另一个根为4，
的值为3或—1。
代入
，可得：
，∴把
代入
，可得：
，
的另一个根为4，
的值为3或—1。
，
说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。
例3：已知方程
有两个实数根，且两个根的平方和比两根
的积大21，求的值。
分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。
解
：
∵
方
程
解
设
，这
个方
不程
等
式两
，根
得
为
≤
0
有
两
个
实
数
根
，
∴△ 则 ∵ ∴ ∴
整理得：
解得： 又∵
说明：当求出。
，∴
后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的
四、运用判别式及根与系数的关系解题。 例5：已知根，问由，
解：因为关于的一元二次方程
有两个非零实数根，
和
、
是关于的一元二次方程
的两个非零实数
的取值范围；若不能同号，请说明理
能否同号？若能同号，请求出相应的