????????已知两个非零向量a和b，如图，作OA?a，OB?b，?AOB??(00???1800)叫做向量a与b的夹角.
a?AaObB
0b当??0时，a与b同向； 当??180时，a与b反向； 当??90时，a与b垂直.
规定：由于零向量的方向是不确定的，为今后方便起见，我们规定零向量与任一向量垂直.
注意：零向量与任一向量垂直是我们对夹角定义的一种补充，目的只是使定义完备. 两个向量数量积的定义
00已知两个向量a和b，它们的夹角为?，我们把|a||b|cos?叫做向量a与b的数量积（或内积）.记作a?b（如图） 即
aOa?b?|a||b|cos?
?b由此可以看出，两个向量的数量积是这两个向量的长度的乘积与它们夹角的余弦值的乘积.
二、学生活动，猜想讨论
问题1 讨论向量数量积与实数与向量乘积的区别.
问题2 如图，讨论向量数量积的几何意义.
BBBbbbO
?B1aA ?B1O6
? aO(B1)AaA （A） (B) (C) 问题3 结合向量数量积的定义及其几何意义，讨论当力F与位移s的夹角
00???900、??900、900???1800时力F对物体所做的功W的情况.
向量数量积的几何意义：向量a和b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos?的乘积，或b的长度|b|与a在b的方向上的射影|a|cos?的乘积. 三、典型例题分析讲解
例1 已知|a|?3，|b|?4，且a与b的夹角??150?，求a?b. 解：a?b?|a||b|cos?
?3?4?cos150?
??63. 例2 已知a?b??16，|a|?2|b|，|b|?4，求a与b的夹角?. 解:∵ |a|?2|b|?8，
∴ a?b??16
即 |a||b|cos???16 ∴ cos???∵ 0????， ∴ ??1， 22?. 3例3 设向量a,b,c满足a?b?c?0，(a?b)?c，a?b.若|a|?1，求
|a|2?|b|2?|c|2的值.
????????????解: ∵ a?b?c?0，如图，设a?AB，b?BC，C?CA. ????????????则a?b?DB，∴ DB?CA，
∴ ?ABC为等腰直角三角形，且|a|?|b|?1，|c|?2. ∴ |a|?|b|?|c|?1?1?2?4. 四、学生活动、课堂练习
P109练习。
1.已知向量a与b共线，且|a|?1，|b|?2，求a?b.
7
222DCAB解: ∵ a与b共线， ∴ a与b的夹角??0，或?. 当??0时， a?b?|a||b|?2， 当???时， a?b??|a||b|??2. 注意:向量的共线中注意同向和反向的情况.
2.如图，已知六边形PP12P3P4P5P6，下列向量的数量积最大的是( )
P5P4????????????????????A.PP12?PP13 B.PP12?PP14 ????????????????????C.PP12?PP15 D.PP12?PP16
??????????解:易知PP由向量数13在PP12方向上的射影最大，??????????量积的几何意义知， PP12?PP13的值最大.故选A.
布置作业
P93习题 2-2。 课堂作业 A 组 3.4. 课外作业 A 组 5； B 组1.
P6P3P1(Q1)P2(Q2)Q3Q6 8