程为y＝－3x＋
10. 3
(1)求实数a，b的值；
(2)是否总存在实数m，使得对任意的x1∈[0,3]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1) f′?1?＝－3??2 解：(1)f′(x)＝x＋2ax＋b，由已知得?， 1 f?1?＝??3 ???1＋2a＋b＝－3?a＝0 ?即，解得?.(4分) ?a＋b＋4＝0???b＝－4 (2)要使对任意的x1∈[0,3]，总存在x2∈[－1,2]，使得f(x1) 1 由(1)知f(x)＝x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4. 3 4 令f′(x)＝0，得x＝2，又f(0)＝4，f(2)＝－，f(3)＝1， 3故当x∈[0,3]时，[f(x)]max＝4.(7分) g′(x)＝3mx－12mx＝3mx(x－4)，令g′(x)＝0，得x＝0.(8分) 又g(－1)＝2－7m，g(0)＝2，g(2)＝2－16m. 当m>0时，[g(x)]max＝g(0)＝2<4，不合题意；(10分) 1 当m<0时，[g(x)]max＝g(2)＝2－16m，由2－16m>4，得m<－.(12分) 81 故实数m的取值范围为(－∞，－)．(14分) 8 20.(本小题满分14分) 已知椭圆M的中心为坐标原点，且焦点在x轴上，若M的一个顶点恰好是抛物线y2＝1 8x的焦点，M的离心率e＝，过M的右焦点F作不与坐标轴垂直的直线l，交M于A，B 2两点． (1)求椭圆M的标准方程； →→→ (2)设点N(t,0)是一个动点，且(NA＋NB)⊥AB，求实数t的取值范围． x2y2 解：(1)椭圆M的标准方程：＋＝1.(4分) 43 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，设l：x＝my＋1(m∈R，m≠0)， x＝my＋1??22 22 ?xy?(3m＋4)y＋6my－9＝0. ??4＋3＝1 6m由韦达定理得y1＋y2＝－2 ①(6分) 3m＋4→→→22(NA＋NB)⊥AB?|NA|＝|NB|?(x1－t)2＋y21＝(x2－t)＋y2 2 ?(x1－x2)(x1＋x2－2t)＋(y1－y2)＝0.(9分) 将x1＝my1＋1，x2＝my2＋1代入上式整理得 (y1－y2)[(m2＋1)(y1＋y2)＋m(2－2t)]＝0， 2 由y1≠y2知，(m＋1)(y1＋y2)＋m(2－2t)＝0，(10分) 1 将①代入得t＝2.(12分) 3m＋41 所以实数t∈(0，)．(14分) 4 21.(本小题满分14分) 已知数列{an}中，a1＝1且点P(an，an＋1)(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上． (1)求数列{an}的通项公式； 1111 (2)若函数f(n)＝＋＋＋?＋(n∈N，且n≥2)，求函数f(n)的最小值． n＋a1n＋a2n＋a3n＋an 解：(1)由点P(an，an＋1)在直线x－y＋1＝0上， 即an＋1－an＝1，且a1＝1.(3分) 所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列． 故an＝1＋(n－1)×1＝n.(6分) 111 (2)f(n)＝＋＋?＋，(8分) n＋1n＋22n 11111 f(n＋1)＝＋＋＋?＋＋， n＋2n＋3n＋42n＋12n＋2 111111 f(n＋1)－f(n)＝＋－>＋－＝0.(13分) 2n＋12n＋2n＋12n＋22n＋2n＋17 所以f(n)是单调递增，故f(n)的最小值是f(2)＝.(14分) 12 22