高中数学圆锥曲线解答题解法面面观
汇编：范文桥
圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点的问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：向量问题 题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值、最值问题 问题八：直线问题 问题九：对称问题 问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）
题型二：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线l与曲线N ：B两点，在x轴上是否存在一点E(x0,0)，使得?ABEy2?x交于A、是等边三角形，若存在，求出x0；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线l:y?k(x?1)，k?0，A(x1,y1)，B(x2,y2)。 由??y?k(x?1)2222消y整理，得kx?(2k?1)x?k?0 ① 2?y?x由直线和抛物线交于两点，得??(2k2?1)2?4k4??4k2?1?0 即0?k?21 ② 42k2?12k2?11,x1x2?1。则线段AB的中点为(?,)。 由韦达定理，得：x1?x2??k22k22k线段的垂直平分线方程为：
1111111?2k2x??E(?,0) y???(x?)令y=0,得，则02222k22k22kk2k??ABE为正三角形，?E(113?,0)到直线AB的距离d为AB。 2k2221
1?k21?4k22?AB?(x1?x2)?(y1?y2)? ?1?kd?2kk22231?4k21?k25392??1?k?x?解得满足②式此时。 k??022k2k313【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB．．．．．．．．的中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后解决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形（即D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于
?y??x2?3解：设直线AB的方程为y?x?b，由?进而可求出AB?x2?x?b?3?0?x1?x2??1，
?y?x?b的中点M(?1111,??b)，又由M(?,??b)在直线x?y?0上可求出b?1，∴x2?x?2?0，由弦22222长公式可求出AB?1?112?4?(?2)?32．
题型三：动弦过定点的问题
x2y23例题2、已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，ab2且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
x2c3?y2?1 解：（I）由已知椭圆C的离心率e??，a?2,则得c?3,b?1。从而椭圆的方程为4a2（II）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线A1M的斜率为k1,则直线A1M的方程为y?k1(x?2)，由
?y?k1(x?2)消y整理得(1?4k12)x2?16k2x?16k12?4?0??2和x1是方程的两个根，?22?x?4y?44k116k12?42?8k122?8k124k1则x1?，y1?，即点M的坐标为(??2x1?,)， 222221?4k11?4k11?4k11?4k11?4k12
28k2?2?4k2同理，设直线A2N的斜率为k2，则得点N的坐标为(,) 221?4k21?4k2?yp?k1(t?2),yp?k2(t?2)?k1?k2y?y1y2?y12， ??，?直线MN的方程为：?k1?k2tx?x1x2?x1?令y=0，得x?4x2y1?x1y2，将点M、N的坐标代入，化简后得：x?
ty1?y24443?2?椭圆的焦点为(3,0)??3，即t? tt3又?t?2，?0?故当t?43时，MN过椭圆的焦点。 3题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
22xy例题4、已知点A、B、C是椭圆E：2?2?1 (a?b?0)上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶ab????????????????点，直线BC过椭圆的中心O，且AC?BC?0，BC?2AC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；
(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线x?3对称，求直线PQ的斜率。
????????解：(I) ?BC?2AC，且BC过椭圆的中心O
??????????????????OC?AC?AC?BC?0??ACO?又?A (23,0)?点C的坐标为(3,3)。
2?A(23,0)是椭圆的右顶点，?a?23，则椭圆方程为：x2y2?2?1 12b将点C(3,3)代入方程，得b?4，?椭圆E的方程为
x2y2??1 1242(II)? 直线PC与直线QC关于直线x?3对称，
?设直线PC的斜率为k，则直线QC的斜率为?k，从而直线PC的方程为：
?y?kx?y?3?k(x?3)，即y?kx?3(1?k)，由??3(1?k)消y，整理得：
22??x?3y?12?0(1?3k2)x2?63k(1?k)x?9k2?18k?3?0?x?3是方程的一个根， 9k?18k?39k?18k?39k2?18k?3即同理可得： x?x??xP?3?PQ2221?3k3(1?3k)3(1?3k)3
22?yP?yQ?kxP?3(1?k)?kxQ?3(1?k)＝k(xP?xQ)?23k＝9k2?18k?39k2?18k?3yP?yQ1 ＝?36kxP?xQ???k??PQxP?xQ33(1?3k2)3(1?3k2)3(1?3k2)则直线PQ的斜率为定值题型五：共线向量问题
?12k 23(1?3k)1。 31：如图所示，已知圆C:(x?1)2?y2?8,定点A(1,0),M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足AM?2AP,NP?AM?0,点N的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G、H（点G在点F、H之间），且满足FG??FH，求?的取值范围. 解：（1）?AM?2AP,NP?AM?0.∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM| 又?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22?2.∴动点N的轨迹是以点 C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为2a?22,
x2?y2?1. 焦距2c=2. ?a?2,c?1,b?1.∴曲线E的方程为22
x22（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为y?kx?2,代入椭圆方程?y?1,
2得(?k)x?4kx?3?0.3由??0得k2?.设G(x1,y1),H(x2,y2),
2?4k?8k36则x1?x2??(1),xx??(2)1222111?2k1?2k?k2?k2222212又?FG??FH,?(x1,y1?2)??(x2,y2?2)32
13(2?2)k?4???1?2??x1??x2,???x1,x2，
(1)2132k2????2??2(2)?3(1?2k)?k2?3,?4?23216?.133(2?2)k1????1. 3?161.解得???3.33又?0???1,又当直线GH斜率不存在，方程为x?0,FG?
1111FH,??.????1,即所求?的取值范围是[,1) 33334
2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y?12x的焦点，离心率4为25.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于5????????????????M点，若MA??1AF，MB??2BF ，求证：?1??2??10.
x2y2解：设椭圆C的方程为2?2?1 （a＞b＞0）抛物线方程化为x2?4y，其焦点为(0,1)，
abca2?b2252则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即 b?1由e??，∴a?5，椭圆C的方程为 ?2aa5x2?y2?1（2）证明：右焦点F(2,0)，设A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,y0)，显然直线l的斜率存在，设直5线
l的方程为
y?k(x?2)，代入方程
x2?y2?1 5并整理，得
????20k220k2?5，x1x2? 又MA?(x1,y1?y0)，(1?5k)x?20kx?20k?5?0∴x1?x2?221?5k1?5k2222????????????MB?(x2,y2?y0)，AF?(2?x1,?y1)，BF?(2?x2,?y2)， ????????????????而 MA??1AF， MB??2BF，即(x1?0,y1?y0)?1(2??,xy1?)1∴?1?，(x2?0,y2?y0)??2(2?x2,?y2)
x1x2x1x2(x1?x2)?2x1x2，?2?，所以 ?1??2??2???10
2?x12?x24?2(x1?x2)?x1x22?x12?x23、已知△OFQ的面积S=2
6, 且OF?FQ?m。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，
|OF|?c,m?(6?1)c2，当|OQ|取得最小值时，求此双曲线方程。 4x2y2解：设双曲线方程为2?2?1， Q（x0, y0）。
ab146。 FQ?(x0?c,y0) ， S△OFQ=|OF||y0|?26，∴y0??2cOF?FQ?(c,0)(x0?c,y0)=c(x0－c)=(3c296OQ?x?y??2?23,
8c202066?1)c2?x0?c。 445