第17课时 水平面内的圆周运动及其临界问题
考点1 圆锥类运动及其临界问题
1．关于水平面内的匀速圆周运动的临界问题，主要是临界速度和临界力的问题，常见的是与绳的拉力、弹簧的弹力、接触面的弹力和摩擦力等相关的问题，通过受力分析来确定临界状态和临界条件是常用的解题方法。
2．(1)运动轨迹是在水平面内圆。 (2)物体所受合外力提供向心力。
(3)向心力可以是一个力或几个力的合力，也可以是某个力的分力。
3．实例：圆锥摆、汽车和火车拐弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行、锥斗、锥面等，临界条件是恰好满足或不满足某条件。
[例1] 如图所示，用一根长为l＝1 m的细线，一端系一质量为m＝1 kg的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ＝37°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为FT(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8, g取10 m/s，结果可用根式表示)。求：
(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度ω0至少为多大？
(2)若细线与竖直方向的夹角为60°，则小球的角速度ω′为多大？ 解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，如图所示。
小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得mgtanθ＝mω0lsinθ
解得ω0＝即ω0＝
2
2
2
gglcosθ
52＝ rad/s。
lcosθ2
(2)同理，当细线与竖直方向成60°角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtanα＝
mω′2lsinα
解得ω′＝即ω′＝
2
gglcosα
＝25 rad/s。
lcosα
52
答案 (1) rad/s (2)25 rad/s
2
(1)圆锥类圆周运动问题的物体，有些在锥面内，有些在锥面外，有些属于锥面问题，如：汽车道路在拐弯时为什么修的是内低外高，火车拐弯处的构造等。
(2)先对运动轨迹和状态分析确定圆心和半径及有关物理量，再对物体进行受力分析。
分析出提供向心力是什么力、列式求解。
(3)当转速变化时，往往会出现绳子拉紧，绳子突然断裂，上下移动的接触面会出现摩擦力达到极值，弹簧的弹力大小或方向发生变化等。
铁路转弯处的弯道半径r是根据地形确定的，弯道处要求外轨比内轨高，内外轨的高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的内外轨的高度差h的部分数据关系：(g取10 m/s)
弯道半径r/m 内外轨的高度差h/mm (1)根据表中数据，推导出h和r关系的表达式，并求出r＝550 m时h的值； (2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨均不向车轮施加侧向压力。已知我国铁路内外轨的间距设计值L＝1435 mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为
单位，结果取整数。当θ很小时tanθ≈sinθ)；
(3)为了提高运输能力，国家不断对火车进行提速，这就要求火车转弯速率也提高。请根据上述计算原理和表格中的数据分析提速时应采取怎样的有效措施。
答案 (1)60 mm (2)55 km/h (3)见解析
解析 (1)由题表中数据可知，每组的h与r之积为常数，即hr＝660×50×10 m＝33 m
所以当r＝550 m时h＝60 mm。
(2)当内外轨对车轮都没有侧向压力时，对火车的受力分析如图所示。
2
－3
2
2
660 50 00 30 320 150 265 100 132 250 110 200 13v2
则F＝mgtanθ＝m r因为θ很小，tanθ≈sinθ＝ 所以v＝ hLghr＝ L10×33
－3 m/s 1435×10
≈15.2 m/s≈55 km/h。
(3)由前面的计算可知，可采取的有效措施有：①适当增大内外轨的高度差h；②适当增大铁路弯道的轨道半径r。
考点2 水平转盘上物体的运动及其临界问题
1．在水平面上物体做圆周运动提供向心力的力可能是摩擦力、绳子的拉力、弹簧的弹力、杆的拉力(支持力)等，根据题意找出条件去判定。
2．临界极值分析
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩
mv2
擦力提供向心力，则有Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有其r他力，具体问题再具体分析。
[例2] (2014·全国卷Ⅰ)(多选)如图，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )
A．b一定比a先开始滑动 B．a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝ D．当ω＝
kg是b开始滑动的临界角速度 2l2kg时，a所受摩擦力的大小为kmg 3l解析 因圆盘从静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，小木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，充当向心力，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得f＝mωR，由于小木块b的轨道半径大于小木块a的轨道半径，故小木块b做圆周运动需要的向心力较大，先达到最大静摩擦而滑动，B错误，A正确；当
2
b开始滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mω2b·2l，可得ωb＝
滑动时，由牛顿第二定律可得kmg＝mωal，可得ωa＝ 2
kg，C正确；当a开始2l2kg< 3lkg，而转盘的角速度 lkg，小木块a未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律l22
可得f＝mωl＝kmg，D错误。
3
答案 AC
(1)关键分析物体的受力情况，找出向心力的来源，以及运动状态改变时力的变化，确定临界点、临界条件。如题中，物体静摩擦力提供向心力、随角速度增大，静摩擦力增大，达到最大静摩擦力时，物体开始滑动，这就是临界点和临界条件。
(2)特别注意有弹簧和绳子时应先满足摩擦力的情况下去分析变化。
(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是( )
A．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动 B．物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远 C．两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动 D．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远 答案 AB
解析 当圆盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，A所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是B所需要的向心力小于B的最大静摩擦力，所以B仍保持相对圆盘静止状态，故C、D错误，A、B正确。
1.山城重庆的轻轨交通颇有山城特色，由于地域限制，弯道半径很小，在某些弯道上行驶时列车的车身严重倾斜。每到这样的弯道乘客都有一种坐过山车的感觉，很是惊险刺激。假设某弯道铁轨是圆弧的一部分，转弯半径为R，重力加速度为g，列车转弯过程中倾角(车厢地面与水平面夹角)为θ，则列车在这样的轨道上转弯行驶的安全速度(轨道不受侧向挤压)为( )
A.gRsinθ C.gRtanθ 答案 C
B.gRcosθ D.gRcotθ
v2解析 由题意画出受力分析图，可知合外力提供向心力，指向水平方向：mgtanθ＝m，
R解得v＝gRtanθ，故C正确。
2.(2017·郑州质检)如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮A和B水平放置，两轮半径RA＝2RB。当主动轮A匀速转动时，在A轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在A轮边缘上。若将小木块放在B轮上，欲使木块相对B轮也静止，则木块距B轮转动轴的最大距离为( )
A. B. C. D．RB 432答案 C
解析 由题图可知，当主动轮A匀速转动时，A、B两轮边缘上的线速度相同，由ω＝
RBRBRB
vvωARARB1
，得＝＝＝。由于小木块恰能在A轮边缘静止，则由静摩擦力提供的向心力达最大RωBvRA2
RB值μmg，故μmg＝mωARA'①，设放在B轮上能使木块相对静止的距B轮转动轴的最大距离为r，则向心力由最大静摩擦力提供，故μmg＝mωBr'②，因A、B材料相同，故木块与A、
2
B间的动摩擦因数相同，①、②式左边相等，故mω2得r＝?ARA＝mωBr，
2
2
?ωA?2R＝?1?2R＝RA＝
?A?2?A4?ωB???
RB2
，C正确。
3. (2017·莆田联考)如图所示，在半径为R的半圆形碗的光滑表面上，一质量为m的
小球以转速n(r/s)在水平面内做匀速圆周运动，该平面离碗底的距离h为( )
A．R－C.
g4πn2
22 B.D.
g4πn22
g4πn－R
＋
4πn2
22
gR答案 A
解析 由题意知，小球做圆周运动的角速度ω＝2πn，小球做圆周运动需要的向心力为F＝m·4πnr，向心力由重力与弹力的合力提供，即mgtanθ＝m·4πnr，如图所示，根据几何关系：sinθ＝，联立解得：cosθ＝22，可得：h＝R－Rcosθ＝R－22，
R4πnR4πn所以A正确，B、C、D错误。
4. (多选)如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2.0 kg的木块，它与台面间的最大静摩擦力fm＝6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的光滑中心孔O悬吊一质量m＝1.0 kg的小球，当转台以ω＝5.0 rad/s的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到O孔的距离可能是(重力加速度g＝10 m/s，木块、小球均视为质点)( )
A．6 cm B．15 cm C．30 cm D．34 cm 答案 BC
解析 转台以一定的角速度ω匀速转动，木块所需的向心力与做圆周运动的半径r成正比，在离O点最近处 r＝r1时，木块有靠近O点的运动趋势，这时摩擦力沿半径向外，刚好达到最大静摩擦力fm，即mg－fm＝Mωr1，得r1＝
2
2
22
22
rggmg－fm
＝8 cm，同理，木块在离O点Mω2
最远处r＝r2时，有远离O点的运动趋势，这时摩擦力的方向指向O点，且达到最大静摩擦力fm，即mg＋fm＝Mωr2，得r2＝系式r1≤r≤r2。B、C正确。
5. (2017·开封质检)(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量均为m的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为RA＝r，
2
mg＋fm
＝32 cm，则木块能够相对转台静止，半径应满足关Mω2