??当A为方阵时?Ax??有无穷多解Ax??有非零解??????A?0?????n???1,?2,?,?n线性相关 ???当A为方阵时??Ax??有唯一组解Ax??只有零解??????A?0??可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??有解?r(A)?r(A??)??????n ???1,?2,?,?n线性无关 ??当A为方阵时???????克莱姆法则 ????r(A)?r(A??) ??不可由?1,?2,?,?n线性表示?Ax??无解??r(A)?r(A??) ??r(A)?1?r(A??)?
矩阵转置的性质： (AT)T?A 矩阵可逆的性质： (A?1)?1?A 伴随矩阵的性质： (A?)??A?n 若r(A)?n ?r(A?)??1 若r(A)?n?1 ?0 若r(A)?n?1 ?
n?2(AB)T?BTAT (kA)T?kAT AT?A (A?B)T?AT?BT (A?1)T?(AT)?1 (A?1)??(A?)?1?(AT)??(A?)TAA(AB)?1?B?1A?1 (kA)?1?k?1A?1 A (AB)??B?A? A?1?A A?A?n?1?1(A?1)k?(Ak)?1?A?k (A?)k?(Ak)? (kA)??kn?1A? AA??A?A?AE AB?AB kA?knA Ak?A k6
?(1) ?1,?2是Ax?0的解,?1??2也是它的解???(2) ?是Ax?0的解,对任意k,k?也是它的解??齐次方程组?(3) ?,?,?,?是Ax?0的解,对任意k个常数?12k???? ?1,?2,?,?k,??11??2?2??k?k也是它的解????线性方程组解的性质：?(4) ?是Ax??的解,?是其导出组Ax?0的解,???是Ax??的解
?(5) ?,?是Ax??的两个解,???是其导出组Ax?0的解1212??(6) ?2是Ax??的解,则?1也是它的解??1??2是其导出组Ax?0的解??(7) ?1,?2,?,?k是Ax??的解,则? ????????也是Ax??的解???????11122kk12k??11??2?2??k?k是Ax?0的解??1??2??k?0? ??√ 设A为m?n矩阵,若r(A)?m,则r(A)?r(A??),从而Ax??一定有解. 当m?n时,一定不是唯一解.? m是r(A)和r(A??)的上限. √ 矩阵的秩的性质：
① r(A)?r(AT)?r(ATA) ② r(A?B)≤r(A)?r(B) ③ r(AB)≤min?r(A),r(B)?
?r(A) 若k?0 ④ r(kA)??
0 若k?0?方程个数未知数的个数?,则该向量组线性相关.
向量维数向量个数?A?? ⑤ r???r(A)?r(B) ?B??⑥若A?0,则r(A)≥1
⑦ 若Am?n,Bn?s,且r(AB)?0,则r(A)?r(B)≤n ⑧ 若P,Q可逆,则r(PA)?r(AQ)?r(A) ⑨ 若A可逆,则r(AB)?r(B)
若B可逆,则r(AB)?r(A)
⑩ 若r(A)?n,则r(AB)?r(B),且A在矩阵乘法中有左消去律:
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标准正交基 n个n维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.
AB?0?B??
AB?AC?B?C?与?正交 (?,?)?0.
?是单位向量 ??(?,?)?1.
√ 内积的性质： ① 正定性：(?,?)?0,且(?,?)?0???? ② 对称性：(?,?)?(?,?)
③ 双线性：(?,?1??2)?(?,?1)?(?,?2) (?1??2,?)?(?1,?)?(?2,?) (c?,?)?(c?,?)?(?,c?)
施密特 ?1,?2,?3线性无关,
??1??1???(?,?) 正交化??2??2?21?1
(??)11??(?3,?1)(?3,?2)???????2?331(??)(??)?1122 单位化：?1?正交矩阵 AAT?E.
??1? ?2?2 ?3?3 ?1?2?3√ A是正交矩阵的充要条件：A的n个行（列）向量构成?n的一组标准正交基. √ 正交矩阵的性质：① AT?A?1；
② AAT?ATA?E；
③ A是正交阵,则AT（或A?1）也是正交阵； ④ 两个正交阵之积仍是正交阵； ⑤ 正交阵的行列式等于1或-1.
A的特征矩阵 ?E?A.
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A的特征多项式 ?E?A?f(?).
A的特征方程 ?E?A?0. Ax??x ? Ax与x线性相关
√ 上三角阵、下三角阵、对角阵的特征值就是主对角线上的n各元素.
√ 若A?0,则??0为A的特征值,且Ax?0的基础解系即为属于??0的线性无关的特征向量. √ A??1?2??n ??i?trA
1n?a1??a?2√ 若r(A)?1,则A一定可分解为A=???b1,b2,?,bn?、A2?(a1b1?a2b2???anbn)A,从而A??????an?的特征值为：?1?trA?a1b1?a2b2???anbn, ?2??3????n?0. √ 若A的全部特征值?1,?2,?,?n，f(x)是多项式,则:
① f(A)的全部特征值为f(?1),f(?2),?,f(?n)；
111② 当A可逆时,A?1的全部特征值为?, ,,?,??12n A?的全部特征值为?1,?2,?,?n.
AAAk??kA?a??b?aA?bE1?1???A√ ?是A的特征值,则:?分别有特征值. 22??A?Am?m??AA???k??kA?a??b?aA?bE1?1???A√ x是A关于?的特征向量,则x也是?关于2的特征向量. 2?A??Am?m??AA???A与B相似 B?P?1AP （P为可逆阵） 记为：A?B
√ A相似于对角阵的充要条件：A恰有n个线性无关的特征向量. 这时,P为A的特征向量拼成
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的矩阵，P?1AP为对角阵,主对角线上的元素为A的特征值. √ A可对角化的充要条件：n?r(?iE?A)?ki ki为?i的重数. √ 若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似.
A与B正交相似 B?P?1AP （P为正交矩阵）
√ 相似矩阵的性质：① A?1?B?1 若A,B均可逆
② AT?BT
③ Ak?Bk （k为整数）
④ ?E?A??E?B,从而A,B有相同的特征值,但特征向量不一定相同.
即:x是A关于?0的特征向量,P?1x是B关于?0的特征向量. ⑤ A?B 从而A,B同时可逆或不可逆 ⑥ r(A)?r(B) ⑦ tr(A)?tr(B)
√ 数量矩阵只与自己相似. √ 对称矩阵的性质：
① 特征值全是实数,特征向量是实向量； ② 与对角矩阵合同；
③ 不同特征值的特征向量必定正交；
④ k重特征值必定有k个线性无关的特征向量；
⑤ 必可用正交矩阵相似对角化（一定有n个线性无关的特征向量,A可能有重的特征值,重数=n?r(?E?A)）.
A可以相似对角化 A与对角阵?相似. 记为：A?? （称?是A的相似标准型）
√ 若A为可对角化矩阵,则其非零特征值的个数（重数重复计算）?r(A). √ 设?i为对应于?i的线性无关的特征向量,则有：
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