试论解题中数学美的探索
甘肃省卓尼县第一中学 梁兰英 邮编：747600
摘要
在数学教育当中，培养学生以审美的态度有意识去进行观察、思考、探索数学美（简洁性、和谐性、对称性、相似性、奇异性）。并以此激发学生求知欲和学习兴趣。
关 键 词：数学 解题 数学美 探索
有人说，数学是“枯燥无味”的，这是对数学美缺乏体验的的缘故。那么究竟什么是“数学美”呢？人们一般都认为数学美是存在的，并且在数学认识活动中有重要作用。但对于什么是“数学美”，则说法不一。有些数学家认为，数学本身的简洁性、统一性、对称性、奇异性就是数学美的内容。彭加来说，简单就是一种美；德国数学家H·魏尔说：“对称性和美紧密相连”；弗兰西斯·培根认为“没有一个极美的东西不是在调和中有着某些奇异！”；德国物理学家海森堡则指出：“美是一个部分与另一个部分及整体固有的和谐。”由此看来，数学美是客观存在的，并且它又是带有一定主观感情色彩的精致的直觉。
在平时的教学中，应注意挖掘数学中美的因素，培养学生发现数学美。比如为了激发、调动学生学习数学的兴趣和热情，精心设计每一堂课的每一个环节，增强师生情感交流，创造和谐的氛围，让学生在充满美的环境中接受数学美的的洗礼。本人就这一方面略作探索：
1 通过追求简洁美，寻求解题捷径
简洁性是数学事实的简单明了表述，是数学事实对其简化形式的统一。简 洁性给人以精练、明快简捷、准确之美感。简洁就是一种美。法国数学家狄德罗说：“数学中所谓美的问题是指一个难以解决的问题。而美的解答是指一个复杂问题的简单解答。”我们常说的解数学题时，“最简单的解法便是最优美的解法”的说法是与此相符的。有许多数学问题，其表面形式很复杂，但其本质总是存在简单的一面。
例1 已知方程?a2?2b2?x2??2b2?2c2?x?2c2?a2?0有两个相等实数根，
求证：a2?b2?c2.
析证 这类问题一般是用判别式解证，运算繁琐，但经过观察可以发现方程各项系数和为零，从而可知方程的根有一根为1，又因为方程两根相等，故两根均为1，于是由韦达定理，得
2222a?2b?2c?b?a2?b?c22.
1
例 2 计算6?6?6??
解 假设这个实数存在，设x=6?6?6??,则 x2 =6?6?6??
所以 x2?6?x,即x2?x?6?0.
解得 x1=3，x2=-2（舍去）. 所以 6?6?6??=3
例1一举抓住了问题的关键，证明过程明快、流畅、简洁、彻底，能给人一种美的享受。例2则体现可整体结构的简洁美。象这些简洁的解题过程与明快的思维程序总能令人心旷神怡。
2 结构对称美，简化解题过程
我们若用对称的观点审视数学，则发现具有对称美的数学内容比比皆是。其对称式、对称图形、对称结构、对称变换等等无不显示数学美的魅力。在数学解题过程中，数学对称美的体现能起到优化解题思路和简化解题过程的功效，也可以使学生思维的合理性得到培养和训练。
例3⊙O的弦PP1,QQ1,RR1两两相交于A、B、C点，且
AP?BQ?CR，AR1?BP1?CQ1.求证：?ABC是正三角形。
证 如图，设?ABC三边长分别为x、y、z，AP?a，AR1?b，由相交弦定理，得
?a?x?b??b?z?a???a?z?b??b?y?a? ?a?y?b??b?x?a??R1 A P Q B C
解得x?y?z（仅当a?b时，有解）
Q1
所以 ?ABC是正三角形。 P1 R 此题的对称图形给我们以观赏美，而用对称性解题，可使我们在困惑中获得解题思路，真是美不胜收，其乐无穷。
3 运用相似美，探求解题思路
数学的直觉判断往往开始于面临未能理解的数学对象关系和结构问题之时，当我们遇到一个陌生问题时，不妨观察外形和联想内在联系，将此陌生问题与熟知的“相似问题”进行类比，采用与此“相似问题”大致相同的方法，往往容易获解。
例 4求无穷数列
2
1?14?19?116???1n2??的和。
著名的瑞士数学家贝努利曾发现了很多无穷级数的和，但是他未能求出一切自然数平方倒数之和，即就是上面所求级数。后来瑞士的另一位著名数学家欧拉，用类比方法作出了大胆猜想，解决了这个问题。具体做法是这样的：
首先，考察仅含偶次的2n次代数方程。
b0?b1x2?b2x4???(?1)nbnx2n?0 （1） 假设它有相异的根：
?1,??1,?2,??2,?,?n,??n
于是就有 b20?b1x?bn2x4?????1?bnx2n
?b?x2??20??1???2?2??1x????1?x??1?????2???2?2? ??n?比较系数即知
b?b?1?0???2?12???12??? 1?2?n?对方程
sinx?0
或者
x?x3x573!?5!?x7!???0 这是一个“无穷次”的方程，它应该有无穷多个根，就是 0,?,??,2?,?2?,3?,?3?? 当x?0时，用x除方程（4）的两边，得到
1?x2463！?x5！?x7！???0 它的根是
?,??,2?,?2?,3?,?3??
将（5）与（1）作类比并注意到（2），于是，就可以猜想有 1?x2x4x63！?5！?7！?? 3
2） （3） 4）
5）
（（（
22?x??x?? ???1??2??1?4?2???2??x??1?2??9?????? （6） ??再把（6）与（3）作类比，就可以猜想有 或者 1?14?19?116???16?1?2?14?2?19?2??
?26.
（可以用积分证明，这个猜想是正确的）
由于通过类比对“相似美”的追求，致使问题轻而易举获得解决
4 依据和谐统一美，变换化归疑难问题
希腊数学家裴安认为，和谐是杂多的统一，是对立的协调，经过数学变化出现了统一的均衡美。在教学中不断向学生揭示和谐的数学美，使其明确数学内容尽管丰富多彩，却处于和谐的统一体中。数学方法虽然绚丽多姿，却能互相转化、结合。让学生在品味和谐美的同时，养成对一个问题能多方面考虑，对一个对象能运用多种角度观察，对一个题目能想出各种不同的解法。而解决问题的关键恰恰在于问题形式的变换与化归，变换化归的依据在于各种形式间在其本质上的和谐统一。
例5在?ABC中，求证
a?b?c2abc222?cosAa?cosBb?cosCc.
等式的左端是边的关系，右端是边、角混合关系，两端不协调，为了使两端和谐化，可利用余弦定理将两端统一用边表示：
右边?1b?c?aa2abc222?1a?c?bb2abc222?1a?b?cc2abc222?a?b?c2abc222=左边
例5借助余弦定理，实现边与角的统一，正是数学美的一种体现。
5 创造奇异美，突破常规思维解题
数学美还表现在数学的奇异性中，而奇异美是指结论的新颖奇巧，出乎意料，往往引起思想上的震动。有这样一个故事：大发明家爱迪生叫他的助手计算一只灯泡的容积，由于灯泡是不规则的几何体，这位助手算了半天也没结果，而爱迪生用灯泡装满水之后倒入量筒，一下子就得出了灯泡的容积，两种方法，繁简竟有天壤之别，爱迪生的方法之妙出人意料，令人拍案叫绝。这就是解法的奇异美。数学题有一定的规律和一般的解题模式，并且每道题都有自己的特殊性质，这些特性就构成了奇异美，这也正是数学解题的魅力所在。而在解题时，若能抓住其“特性”，则会获得出人意料的解法。许多奇异的设想，常常能成为新思想和新方法的起点。
4
例6 a,b,c,d是互不相等的实数，作出函数
f(x)??(x?b)(x?c)(x?d)(a?b)(a?c)(a?b)?(x?c)(x?d)(x?a)(b?c)(b?d)(b?a)?(x?d)(x?a)(x?b)(c?d)(c?a)(c?b)(x?a)(x?b)(x?c)(d?a)(d?b)(d?c)
的图象。解析 f(x)是一个关于x的三次式，十分复杂，要作图象，谈何容易， 不少学生面对这一问题都会望而却步，但是，我们若能仔细观察，不难发现，当
x?a,x?b,x?c,x?d时，有f(a)?f(b)?f(c)?f(d)?1.说明三次方程
f(x)?1?0有四个互不相等的实根，这是不可能的，故对一切x?R,有f(x)?1，所以其图象是平行于x轴的一条直线。
对于例6，用常规解法去解比较繁难，而解方程时运用了重要不等式的性质，这种新颖独特的方法，富于创造性，往往让人惊叹不已。
奇异、突变之美是数学美中最丰富、最精彩的片段，它能使学生感到创造的喜悦和成功的乐趣，从而有效地培养学生的创造意识，提高学生的解题能力。 综上所述，数学中美的形式、美的内涵总令人愉悦，令人由衷的赞叹。在数学教学中，教师应精心设计与刻意挖掘教材中丰富的美学因素，充分注意培养学生的审美能力，让学生领略美的真谛，产生追求美、创造美的欲望，这对强化学生的素质教育，调动学生学习数学的积极性和主动性，开拓学生思路，发展学生思维，提高分析问题、解决问题的能力都具有重要的意义。
参考文献
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