1．如图，一次函数y=﹣的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以
线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，使∠ABC=30°； （1）求△ABC的面积； （2）如果点P（m，
）在第二象限内，试用含m的代数式表示四边形AOPB
的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时m的值；
（3）如果△QAB是以AB为直角边，且有一锐角为30°的直角三角形，请在第一象限中找出所有满足条件的点Q的坐标．
【分析】（1）首先求得A和B的坐标，利用勾股定理即可求得AB的长，然后在直角△ABC中利用三角函数求得AC的长，则三角形的面积即可求解；
（2）根据四边形OAPB的面积等于△OAB的面积与△OBP的面积的和即可利用m表示出四边形AOPB的面积，然后表示出△APB的面积，根据△APB与△ABC面积相等，列方程求解； （3）分成A是直角顶点和B是直角顶点两种情况讨论，第一种情况C就是所求，作CE⊥x轴于点E，在直角△ACE中利用三角函数求得AE和CE的长，则C的坐标即可求得；当B是直角顶点时，把C向上平移1个单位长度就是Q． 【解答】解：（1）在y=﹣
中令x=0，解得y=
，则B的坐标是（0，
）．
个单位长度，把C向左平移
令y=0，解得x=1，则A的坐标是（1，0）． 则OA=1，OB=则AB=
， =
=2．
=
，
在直角△ABC中，AC=AB?tan∠ABC=2×则S△ABC=AB?AC=×2×
=
；
（2）S△OAB=OA?OB=×1×S△OBP=×
×（﹣m）=﹣
=m， ﹣
，
则四边形AOPB的面积是：S△OAP=×1×则S△APB=
﹣
=
，
=
m．
m﹣﹣m． ﹣
m=
，
当△APB与△ABC面积相等时，解得：m=﹣；
（3）当AB是直角边，A是直角顶点时，C就是所求的点． 作CE⊥x轴于点E．
在直角△OAB中，tan∠OAB=则∠CAE=180°﹣60°﹣90°=30°， 直角△ACE中，CE=AC?sin30°=AE=AC?cos30°=
×
=1．
）．
个单位长度，把C向左平移1个单位长度×=
，
=
，则∠OAB=60°，
则OE=2，即C的坐标是（2，
当B是直角顶点时，把C向上平移就是Q，则Q的坐标是（1，总之，Q的坐标是（2，
）．
）或（1，）．
【点评】本题考查了三角函数、一次函数以及勾股定理的应用，注意到Q的位置分成两种情况讨论，正确求得C的坐标是关键．
2．如图：在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于B、A两点，若OA、OB的长分别是方程若x2﹣7mx+48=0的两根且OB＞OA，AB=10．AC平分∠BAO交x轴于点C． （1）求A、B两点的坐标． （2）直线AC的解析式．
（3）直线AC上是否存在点P，使A、B、P三点构成的三角形为直角三角形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由一元二次方程根与系数的关系，结合AB的长，利用勾股定理可求得m的值，进一步可求得OA、OB的值，则可求得A、B的坐标；
（2）过C点作AB的垂线交AB于点M，可证得△OAC≌△MAC，在Rt△BCM中，由勾股定理可求得OC的长，可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的解析式；
（3）由条件只能有∠APB=90°和∠PBA=90°，可设出P点坐标，分别表示出PA、PB和AB，利用勾股定理可列出方程，可求得P点坐标． 【解答】解： （1）x2﹣7mx+48=0的两根是OA、OB， ∴OA+OB=7m，OA?OB=48， ∵OA2+OB2=100，
∴（OA+OB）2﹣2OA?OB=100，即49m2﹣96=100，解得m=2或m=﹣2（舍去）， ∴x2﹣14x+48=0，解得x1=6，x2=8， ∴OA=6，OB=8，
∴A（0，6），B（8，0）；
（2）过C点作AB的垂线交AB于点M，如图，