等腰直角三角形中的全等模型
首先我们先来认识一下等腰直角三角形：
A45°45°45°B
已知：在VABC中，AB?AC，?BAC?90o，D为斜边BC的中点。那么我们可以得到以下结论：
1、AD?BD?CD（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。 2、?B??C??BAD??CAD?45o。
13、SVABD?SVACD?SVABC。
2等腰直角三角形中很多相等的边和45度角是非常方便我们证三角形全等的，比如说我们以这道例题来看。
例1、 在等腰直角三角形ABC中，?ABC?90o，D是AC边上的中点，连接BD，E、F
分别是AB、BC上的点，且BE?CF，求证：VBDE?VCDF。
证明：在VBDE和VCDF中， ?BE?CF?o??DBE??C?45（SAS） ?DB?DC??VBDE?VCDF。
同理我们还可以证明VAED?VBFD。
E45°FA45°DC
D1245°C?AE?BF?o??A??DBF?45（SAS） ?AD?BD??VAED?VBFD
B1所以四边形BEDF的面积为：SBEDF?SVDBE?SVDBF?SVABC。
2如果这道题把BE?CF的条件改为?EDF?90o，也是可以证明两组三角形全等的。这里要用到叠角模型。
Q?1??BDF??EDF?90o ?2??BDF??BDC?90o ??1??2
??1??2?（ASA） ?BD?CD?o??ABD??C?45?VBDE?VCDF。
总结：等腰直角三角形中，若两直角边上有两点满足一个点到直角顶点的距离和另一个点到45度角的距离相等，或者两直角边上的点与中点的连线所形成的夹角为90度，此时连接等腰直角三角形的中线（或是高线、角平分线，因为三线合一），一定会产生两组跟中线有关的全等三角形，所形成的四边形的面积等于原等腰直角三角形面积的一半。
例2、 如图，在VABC中，AC?BC，?C?90o，D是AB的中点，AE?CF，求证：VDEF是等腰直角三角形。
CFEADB
分析：这道题满足我们上面所说的模型，所以当我们找不到突破口证明VDEF是等腰直角三角形的时候，我们可以考虑连接CD。由此可得VAED?VCFD，则D，ED?F现在我们已经证明了VDEF为等腰三角形了，现在只需再证明?EDF?90o即可。因为VAED?VCFD，所以?ADE??CDF。又因为?ADE??CDE??ADC?90o，所以?CDF??CDE??EDF?90o。那么VDEF是等腰直角三角形我们就证明出来了。
例3、 如图，在VABC和VADE中，?ACB??DEA?90o，AC?DE，BC?AE，E、A、C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME、MC。求证：VEMC为等腰直角三角形
分析：首先我们很容易能分析出VDAB为等腰直角三角形，但是在这个三角形中并没有我们上面总结的两种情况。但是我们观察ME、MC，相当于是把中点与两直角边上的点的连线延长了。并且延长出去后告诉了一组边相等，AC?DE，那么我们仍然可以考虑把中线连接起来，看是否能证跟中线有关的三角形全等。 证明：在VADE与VBAC中，
?AC?DE?o??ACB??DEA?90（SAS） ?BC?AE??VADE?VBAC
BMDE?AD?AB?DAE??ABC?ADE??BAC ?BAC??DAE??BAC??ABC?90o ??DAB?90o
?VDAB为等腰直角三角形 又Q?MDE??ADE??MDA
?MAC??BAC??MAB
AC?MDA??MAB?45o
??MDE??MAC
在VMDE和VMAC中， ?MD?MA???MDE??MAC（SAS） ?DE?AC??VMDE?VMAC
?ME?MC?DME??AMC
??DME??AME??AMC??AME??EMC?90o ?VEMC为等腰直角三角形