【分析】（1）证明B1C1∥DE，即可证明B1C1∥平面A1DE； （2）证明DE⊥平面ACC1A1，即可证明平面A1DE⊥平面ACC1A1．
【解答】证明：（1）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，…（2分） 又因为在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE…（4分） 又B1C1?平面A1DE，DE?平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE…（6分） （2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC， 又DE?底面ABC，所以CC1⊥DE…（8分） 又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，…（10分）
又CC1，AC?平面ACC1A1，且CC1∩AC=C，所以DE⊥平面ACC1A1…（12分） 又DE?平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1…（14分）
【点评】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
6．在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，M，N分别是PD，PA的中点，AC⊥AD，∠ACD=∠ACB=60°，PC=AC． （1）求证：PA⊥平面CMN； （2）求证：AM∥平面PBC．
【分析】（1）推导出MN∥AD，PC⊥AD，AD⊥AC，从而AD⊥平面PAC，进而AD⊥PA，MN⊥PA，再由CN⊥PA，能证明PA⊥平面CMN．
（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ，推导出MQ∥PC，从而MQ∥平面PBC，再求出AQ∥平面，从而平面AMQ∥平面PCB，由此能证明AM∥平面PBC．
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【解答】证明：（1）∵M，N分别为PD、PA的中点， ∴MN为△PAD的中位线，∴MN∥AD，
∵PC⊥底面ABCD，AD?平面ABCD，∴PC⊥AD， 又∵AD⊥AC，PC∩AC=C，∴AD⊥平面PAC， ∴AD⊥PA，∴MN⊥PA，
又∵PC=AC，N为PA的中点，∴CN⊥PA，
∵MN∩CN=N，MN?平面CMN，CM?平面CMN， ∴PA⊥平面CMN．
解（2）取CD的中点为Q，连结MQ、AQ， ∵MQ是△PCD的中位线，∴MQ∥PC，
又∵PC?平面PBC，MQ?平面PBC，∴MQ∥平面PBC， ∵AD⊥AC，∠ACD=60°，∴∠ADC=30°． ∴∠DAQ=∠ADC=30°，∴∠QAC=∠ACQ=60°， ∴∠ACB=60°，∴AQ∥BC，
∵AQ?平面PBC，BC?平面PBC，∴AQ∥平面PBC， ∵MQ∩AQ=Q，∴平面AMQ∥平面PCB， ∵AM?平面AMQ，∴AM∥平面PBC．
【点评】本题考查线面垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．
7．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
AD，E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
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（2）求证：面PAB⊥平面PDC．
【分析】（1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；
（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC． 【解答】证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点． 所以在△CPA中，EF∥PA， 又PA?平面PAD，EF?平面PAD， 所以EF∥平面PAD； （2）平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD?CD⊥平面PAD?CD⊥PA 正方形ABCD中CD⊥ADPA?平面PADCD?平面ABCD 又
，所以PA2+PD2=AD2
，即PA⊥PD．
所以△PAD是等腰直角三角形，且因为CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC 所以PA⊥面PDC 又PA?面PAB， 所以面PAB⊥面PDC．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查逻辑推理能力．
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8．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，BD=2
，E、F分别为AD、PC中点．
（1）求点F到平面PAB的距离； （2）求证：平面PCE⊥平面PBC．
【分析】（1）取PB的中点G，连接FG、AG，证得底面ABCD为正方形．再由中位线定理可得FG∥AE且FG=AE，四边形AEFG是平行四边形，则AG∥FE，运用线面平行的判定定理可得EF∥平面PAB，点F与点E到平面PAB的距离相等，运用线面垂直的判定和性质，证得AD⊥平面PAB，即可得到所求距离；
（2）运用线面垂直的判定和性质，证得BC⊥平面PAB，EF⊥平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可得证．
【解答】（1）解：如图，取PB的中点G，连接FG、AG， 因为底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，所以底面ABCD为正方形． ∵E、F分别为AD、PC中点， ∴FG∥BC，AE∥BC，∴FG∥AE且FG=AE，
∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥FE， ∵AG?平面PAB，EF?平面PAB，∴EF∥平面PAB， ∴点F与点E到平面PAB的距离相等， 由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD， 又AD⊥AB，PA∩AB=A， AD⊥平面PAB，
则点F到平面PAB的距离为EA=1．
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，
，，
（2）证明：由（1）知AG⊥PB，AG∥EF， ∵PA⊥平面ABCD，∴BC⊥PA，
∵BC⊥AB，AB∩BC=B，∴BC⊥平面PAB， 由AG?平面PAB，
∴BC⊥AG，又∵PB∩BC=B， ∴AG⊥平面PBC，∴EF⊥平面PBC， ∵EF?平面PCE， ∴平面PCE⊥平面PBC．
【点评】本题考查空间点到平面的距离，注意运用转化思想，考查线面平行和垂直的判定和性质，以及面面垂直的判定，熟练掌握定理的条件和结论是解题的关键，属于中档题．
9．在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC=90°，DC=2AB=2AD，BC⊥PD，E，F分别是PB，BC的中点． 求证：（1）PC∥平面DEF； （2）平面PBC⊥平面PBD．
【分析】（1）由中位线定理可得PC∥EF，故而PC∥平面DEF；
（2）由直角梯形可得BC⊥BD，结合BC⊥PD得出BC⊥平面PBD，于是平面PBC
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