名师精编 优秀教案
?AD?AC?sin?ACD?b?sin?ACB
?c?sinB?b?sin?ACB
?cb?
sin?ACBsinBac? sinAsinCabc??? sinAsinBsin?ACB同锐角三角形证明可知
教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相
等，即
abc?? sinAsinBsinC还有其它证明方法吗？
学生：思考得出，分析图形（图7），对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得出：
111AC?BD?CB?AE?BA?CF， 222BDAE而由图中可以看出：sin?BAC?，sin?ACB?，
ABACCFsin?ABC?
BCS?ABC??BD?AB?sin?BAC,AE?AC?sin?ACB,CF?BC?sin?ABC
111AC?BD?CB?AE?BA?CF 222111=AC?AB?sin?BAC?CB?CA?sin?ACB?BA?BC?sin?ABC 222111=b?c?sin?BAC?a?b?sin?ACB?c?a?sin?ABC 2221111等式b?c?sin?BAC?a?b?sin?ACB?c?a?sin?ABC中均除以abc
2222sin?BACsin?ABCsin?ACB??后可得， abcabc??即。
sin?BACsin?ABCsin?ACB?S?ABC?教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。
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B F c b A
(图7)
（图7）
E
a C
D
在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高AE?c?sin?ABC?a?sin?ABC，三角形
1?a?AE，能否得到新面积公式 2111学生：S?ABC?b?c?sin?BAC?a?b?sin?ACB?c?a?sin?ABC
222111得到三角形面积公式S?ABC?absinC?casinB?bcsinA
222abc 教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：、、都等于同一个比值k，
sinAsinBsinC的面积：S?ABC?那么它们也相等，这个k到底有没有什么特殊几何意义呢？
学生：在前面的检验中，Rt?ABC中，abc???c，sinAsinBsinCB' C 即c?k?2R，所以作?ABC的外接圆O，Oc恰为外接接圆的直径，
为圆心，连接BO并延长交圆O于B'，把一般三角形转化为直角三角形。
证明：连续BO并延长交圆于B'
OA （图8）
??B'AB?90?，?B'??C
在Rt?B'AB中，
B AB?B?B sinB'?ABAB??B'B?2R sinB'sinCc?2R 即
sinCab?2R，?2R 同理可证：
sinAsinBabc????2R sinAsinBsinC名师精编 优秀教案
教师：从刚才的证明过程中,
abc???2R，显示正弦定理的比值等于sinAsinBsinC三角形外接圆的直径2R，我们通过“作高法”、“等积法”、“外接圆法”等平面几何方法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过
a?b?a?b?cos?，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向量
积来证明正弦定理呢？
学生：思考（联系作高的思想）得出：
在锐角三角形?ABC中，AB?BC?AC，作单位向量j垂直于AC，
AC?j?AB?j?BC?j
即0?c?cos(90??A)?a?cos(90??C)
j B ?c?sinA?a?sinC?0
?ca? sinCsinAba?同理：? sinBsinAabc??? sinAsinBsinCj A
（图9）
C
j
对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。
教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。 设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，
力图让学生体验数学的学习过程。 （四）利用定理，解决引例
师生活动：
教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。 学生：马上得出
在?ABC中，?B?180??A??C?60,cb? sinCsinB?c?b?sinC600?sin45???2006m
sinBsin60?（五）了解解三角形概念
设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性
教师：一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的
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元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。 （六）运用定理，解决例题
师生活动：
教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。
学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型：
①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如
a?
bsinA； sinB
②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如
sinA?sinB。
师生：例1的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出主体，教师板书的目的是规范解题步骤。
例1：在?ABC中，已知A?30?，B?45?，a?6cm，解三角形。 分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素”，第一步可由三角形内角和为180?求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。
例2：在?ABC中，已知a?22，b?23，A?45?，解三角形。
ab例2的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流。
用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。
设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”，“我要研究”的主动学习。 （七）尝试小结：
教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生：思考交流，归纳总结。
师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现： （1）正弦定理的内容（
abc???2R）及其证明思想方法。 sinAsinBsinC（2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三角形
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中两边和其中一边所对的角，求其他元素。 （3）分类讨论的数学思想。
设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。 （八）作业设计
作业：第10页[习题1.1]A组第1、2题。
思考题：例2：在?ABC中，已知a?22，b?23，A?45?，解三角形。例2中b?23分别改为b?26，b?5并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的原因。
课外链接：课后通过查阅相关书籍，上网搜索，了解关于正弦定理的发展及应用 七、设计思路：
本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中，学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察——实验——归纳——猜想——证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。 1、 结合实例，激发动机
数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算，方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。 2、数学实验，验证猜想
通过特例检验，让学生动手实验，提高了学生实验操作、分析思考和抽象概括的能，激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。 3、证明猜想，得出定理
引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力，增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。