高三数学第二轮专题复习—函数讲义与练习
一、本章知识结构：
指数 函数的表示法 函数的三要素 对数 基本初等函数： 指数函数 对数函数 映函 函数的性质
初等函数 反函数
函数的应用
二、高考要求 （1）了解映射的概念，理解函数的概念．
（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数． （4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质． （6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 三、热点分析
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。
③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。 四、复习建议
1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质
①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；
②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；
③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对
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函数单调性和奇偶性应用的训练；
④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；
⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
2. 以函数知识为依托，渗透基本数学思想和方法 ①数形结合的思想，即要利用函数的图象解决问题；
②建模方法，要能在实际问题中引进变量，建立函数模型，进而提高解决应用题的能力，培养函数的应用意识。
3. 深刻理解函数的概念，加强与各章知识的横向联系
要与时俱进地认识本章内容的“双基”，准确、深刻地理解函数的概念，才能正确、灵活地加以运用，养成自觉地运用函数观点思考和处理问题的习惯；高考范围没有的内容例如指数不等式（方程）、对数不等式（方程）等不再作深入研究；导数可用来证明函数的单调性，求函数的最大值和最小值，并启发学生建构更加完整的函数知识结构。
所谓函数思想，实质上是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题。 五、典型例题
【例1】
设f(x)?4x?2x?1，则f?1?1(0)= 1 。
解：由4x?2x?1=0，解得x?f【例2】
(0)?1
1已知函数f(x)?()x (x?0)和定义在R上的奇函数g(x)，当x>0
2时，g(x)?f(x)，试求g(x)的反函数。
?12?log1x (0?x?1)?(2) (x?0)?2??(x?0) g?1(x)??0 (x?0)解：g(x)??0 ?x?log(?x) (?1?x?0)?-2 (x?0)?2??【例3】 已知函数
ax2?1f(x)? (a,b,c?Z)是奇函数，又
bx?c?f(1)?2??1?a?2，从而可得a=b=1；c=0
?f(2)?3?1f(1)?2,f(2)?3，求a、b、c的整数值。
解：由f(?x)??f(x)?c?0，又由?【例4】
⑴已知f(x)?x?1，求fx?11() x⑵f(x)?x2?2x?2,f(x)在[t,t?1]上的最小值为g(t)；试写出s?g(t)的解析式。
解：⑴f?1(x)?x?1，fx?1?111?x （x?0,x?1） ()?x1?x (0?t?1)?1 ?2⑵g(x)??t?1 (t?0)
?2?t?2t?2 (t?1)第 2 页 共 29 页
【例5】
已知函数f?x???x2?mx?2m?4(0?x?2，且m?0)，若f?x?的最
大值为n，求n?g?m?的表达式。
222?2?2mmmm??x?mx????2m?4???x????2m?4 解：f?x???x?mx?2m?4?????4424????2∵0?x?2，而m?0，m?0，开口向下的二次函数f?x?在[0,2]上是单调减函数 2∴f?x?最大值?f?0???2m?4∴故n?g?m???2m?4(m?0)【例6】
设f?x?是R上的偶函数，且在区间(??，0)上递增，若
f3a2?2a?1?f2a2?a?1成立，求a的取值范围。
????解：
∵f?x?在R上是偶函数。在(??，0)上递增，则f(x)在(0,??)上递减211?1?2??又3a?2a?1?3?a2?a????1?3?a????0399?3?3???3?0(也可用?断定3a2?2a?1?0)???022
111?1?7??2a?a?1?2?a2?a????1?2?a????0
21616?4?8??22而f3a2?2a?1?f2a2?a?122????2∴3a?2a?1?2a?a?1?a?3a?0??3?a?0
0?为所求。 故a???3，【例7】
比较ma?m?a与mb?m?b?a?b?0,m?0且m?1?的大小。
解：作差比较大小:
n?ma?m?a?mb?m?b?ma?ab1mab?mb?1mb?ma?mb?ab1maa?b?1mb
?m?m?mb?mamamb?m?m??a?ma?mbma?b??m??m?m·?1ma?b?
当m > 1或0 < m < 1。都有u > 0
故ma?m?a?mb?m?b。
【例8】
设f?x??10x?10?x10x?10?x???上是增函数；。（1）证明f?x?在???，（2）求f?1?x?及其 定义域
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x102x?110?2x解：（1）f?x?? 1x10?110?x1010x?1任取x1、x2，且???x1?x2???
??f?x102x1?1102x2?12102x1?102xf?x212??102x1?1?102x2?1???102x1?1???102x2?1? ?y?102是增函数，
?102x1?102x2?0即102x1?1?0，102x2?1?0f?x1??f?x2??0
?f?x1??f?x2??f?x?在???，???上是增函数
（2）y?f?x??102x?1102x?1；定义域R，值域（－1, 1）
反解：x?102y?1102y?1
x?102y?1??102y?1x·102y?x?102y?1?x?1?102y???x?1?
102y??x?1x?1
102y?1?x1?x?02y?lg1?x1?x??1?x?1??f?1?x??y?11?x2lg1?x??1?x?1? 【例9】
定义在R上的函数f?x?满足：对任意实数m,n，f?m?n??f?m??f?n?，且当x?0时，0?f?x??1．
（1）试求f?0?的值；
（2）判断f?x?的单调性并证明你的结论； （
3
）
A???x,y?f?x2??f?y2??f?1??,B???x,y?f?ax?y?2??1,a?R?，
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有
设若
总
A?B??，试确定a的取值范围．
（4）试举出一个满足条件的函数f?x?．
解：（1）在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?1,n?0．得：
f?1??f?1??f?0?．
因为f?1??0，所以，f?0??1．
（2）要判断f?x?的单调性，可任取x1,x2?R，且设x1?x2．
在已知条件f?m?n??f?m??f?n?中，若取m?n?x2,m?x1，则已知条件可化为：f?x2??f?x1??f?x2?x1? ．
由于x2?x1?0，所以1?f?x2?x1??0．
为比较f?x2?、f?x1?的大小，只需考虑f?x1?的正负即可．
在f?m?n??f?m??f?n?中，令m?x，n??x，则得f?x??f??x??1． ∵ x?0时，0?f?x??1， ∴ 当x?0时，f?x??1?1?0．
f??x?又f?0??1，所以，综上，可知，对于任意x1?R，均有f?x1??0． ∴ f?x2??f?x1??f?x1???f?x2?x1??1???0． ∴ 函数f?x?在R上单调递减．
（3）首先利用f?x?的单调性，将有关函数值的不等式转化为不含f的式子．
f?x2??f?y2??f?1?即x2?y2?1，
fax?y?2?1?f?0?，即ax?y?2?0．
22由A?B??，所以，直线ax?y?2?0与圆面x?y?1无公共点．所以，
??2a?1解得：?1?a?1．
2?1．
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