湖北工业大学二OO六—二OO七学年第一学期期末考试
线性代数参考答案及评分标准（06B卷）
一、填空题（每小题3分，共5小题，满分15分）
?b21b23??b11b13?bb3331?1．_128_ 2．b22??121????b12?242??T??b32?121?n!x?k(1,1,??,1),k?R?? 3． 4． 5．二、选择题（每小题3分，共5小题，满分15分）
6．C 7．B 8．D 9．C 10．B
三、计算题（满分64分）
5311．（6分）计算行列式D?333533335333 351200??14141414135330解：原式=?1433530333502?a112．（8分）计算Dn?102010?14?23?112 …………………6分 0222?,其中a1a2?an?0。
2?22a12a22?22?a2??2?an2a1?12a2???12a22a12a2解：原式=a1a2?an?1?2an?2an??2an?1??? ……………………2分
1?a1a2?an(?a2i?1)i?1n2a212a2?1?2an?2an??2an?1 ……………………6分
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11?1nn01?022?a1a2?an(??1)……8分 ?a1a2?an(??1)????i?1aii?1ai00?1?1?32???13．（8分）用初等变换求矩阵A??301的逆阵。 ????1?11???1?32100??1?32100?????310? ……………2分 解：(A?E)???301010???0?97?1?11001??02?1?101??????1?32100??1?32100???????02?1?101???02?1?101?
5?00??001?329??319?222?555???1?30115???020?85?001?35???15?4?1?A???5??3?5?1515253575954?52525?18?1?30?15?5??14410?55???09??001?35?5??151525357595???……6分 ????? ……………………8分 ???x1?3x2?x3?1??x1?x2?x3??1 ?3x?x??x??13?1214．（12分）?取何值时，线性方程组
有唯一解、有无穷多解、没有解？并在有无穷多解时，求出它的通解。
?1?1??11?1?1??1?311??11??????22???0?422? 解：R?(Ab)??11?1?1???0?4?3?1??1??0?4??32??00??10???????1时,R(A)?R(B)?有唯一解3 ?当??? ……………………6分
当???1时,R(A)?R(B)?2?3有无穷多解 ……………………8分
?11?1?1??1?100?????此时,R??0?422???0?211?
?0000??0000????? 基础解系为 ???1,1,?2， 特解为 ???0,0,?1
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TT???,k?R通解为 x?k ……………………12分
15．（10分）求向量组
?1?(2,1,3,?1)T,?2?(3,?1,2,0)T,?3?(1,3,4,?2)T,?4?(4,?3,1,1)T的一个极大
无关组，并将其余向量用此极大无关组线性表示。
?2314??1?13?3?????1?13?32314???? ………2分 解：A?(?1,?2,?3,?4)???3241??3241??????10?21?10?21?????1?13?05?5???05?5??0?11?3??1?13?3??102?1??????10??01?12??01?12? ………6分 ??10??0000??0000???????2??0000??0000??R(A)?2.?1,?2就是一个极大无关组,且?3=2?1-?2,?4=-?1+2?2……10分
?1?20???，BA?2A?4B，求B。
2016．（10分）设A?1????002???1?2A解： BA?4B?2A B(A?4E) B?2A(A?4E) …………4分
??1??3?20?4???A?4E??1?20? (A?4E)?1???18?00?2??0???143?800??0? …………8分 ??12??020???B?2A(A?4E)?1???1?10? ……………………10分
?00?2????01?1????117．（10分）设A?101，求一个可逆阵P，使PAP??为对角阵。
?????110????1??10110??1?(??1)2?1??1 解：?E?A??1??1??11?1?0??1??1011?11110110?(??1)20??1?1?(??1)20??20?(??1)2(??2)?0 ………2分 011001?线性代数试卷B参考答案及评分标准第3页共4页
所以特征值为?1??2?1,?3??2 ……………………4分
?1?11??1?11??????1?1时，?E?A???11?1???000?，
?1?11??000?????基础解系为?1??1,1,0?T?2???1,0,1? ……………………6分
T??2?11??110?T?????1??2时，?E?A???1?2?1???011?，基础解系为?3???1,1,?1?
?1?1?2??000??????100???令P?(?1,?2,?3)，则P?1AP????010? ……………………10分
?00?2???四、证明题（满分6分）
18．（6分）设?1??1??2??3,?2??1??2?2?3,?3??1?2?2?3?3,
如果?1,?2,?3 线性无关，证明：?1,?2,?3也线性无关。
证明：设 x1?1?x2?2?x?3?30
(x1?x2?x3)?1?(x1?x2?2x3)?2?(x1?2x2?3x3)?3?0……2分 ??1,?2,?3 线性无关
?x1?x2?x3?0???x1?x2?2x3?0 ……………………4分 ?x?2x?3x?023?11又 111212??1? 031?x1?x2?x3?0仅有零解
??1,?2,?3 线性无关 ……………………6分
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