大题规范练(三)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．(本题满分12分)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为生活区，四边形区域BCDE为教学区，AB，BC，CD，DE，EA，BE为学校的主2ππ9
要道路(不考虑宽度)．∠BCD＝∠CDE＝，∠BAE＝，DE＝3BC＝3CD＝km.
3310
(1)求道路BE的长度；
(2)求生活区△ABE面积的最大值．
解：(1)如图，连接BD，在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD 2733
cos∠BCD＝，∴BD＝ km.
100102
π－π3π
∵BC＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝＝，
262ππ
又∠CDE＝，∴∠BDE＝.
32∴在Rt△BDE中，BE＝
22BD2＋DE2
＝
?33?＋?9?＝33(km)．
5?10??10?33故道路BE的长度为 km.
5
π2π
(2)设∠ABE＝α，∵∠BAE＝，∴∠AEB＝－α.
33
ABAEBE336
在△ABE中，易得＝＝＝＝，
π5sin∠AEBsin∠ABEsin∠BAE
5sin
32π66
－α?，AE＝sin α. ∴AB＝sin??5?35
π1?93?11?2731π93?2π?93?1?
sin?2α－6?∴S△ABE＝AB·AEsin＝sin?3－α?sin α＝?＋4?≤25?2＋4?＝100232525?2(km2)．
1