大题规范练(六)
解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 3n1－3
1．(本题满分12分)已知数列{an}的前n项和Sn＝
2
＋
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝2log3an－1，求数列{(－1)nan＋bn}的前n项和Tn. 3n＋1－33n－3n
解：(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝3.
22当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式， 所以an＝3n.
(2)由题意得bn＝2log33n－1＝2n－1. (－1)nan＋bn＝(－3)n＋2n－1，
∴Tn＝(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n＋[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]
n
－31－（－3）
＝
[
1＋3
]＋n[1＋（2n－1）]
2
－（－3）n＋1－32＝＋n.
4
2．(本题满分12分)《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据：
月份 违章驾 驶员人数 1 120 2 105 3 100 4 90 5 85 ^^^(1)请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程y＝bx＋a； (2)预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；
(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：
驾龄不超过1年 驾龄1年以上 不礼让斑马线 22 8 礼让斑马线 8 12 总计 30 20 总计 30 20 50 能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？ n－－n∑xy－nxy∑iii＝1 （xi－x）（yi－y）^^i＝1^
参考公式：b＝＝，a＝y－bx.
n2n22∑x－nx∑ （x－x）iii＝1i＝1n（ad－bc）2
K＝(其中n＝a＋b＋c＋d)
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
2
P(K2 ≥k) k 0.150 2.072 0.100 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 解：(1)由表中数据知，x＝3，y＝100， n－－
∑1xiyi－nxy1415－1500i＝^∴b＝＝＝－8.5，
n2255－45∑1xi－nxi＝^^
a＝y－bx＝125.5，
^
∴所求回归直线方程为y＝－8.5x＋125.5
^
(2)由(1)知，令x＝7，则y＝－8.5×7＋125.5＝66(人)．
2
50×（22×12－8×8）
(3)由表中数据得K2＝≈5.556＞5.024，
30×20×30×20
根据统计有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关．
3．(本题满分12分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱BB1⊥底面ABC，BB1＝4，AB⊥BC，且AB＝BC＝4，点M，N分别为棱AB，BC上的动点，且AM＝BN.
(1)求证：无论M在何处，总有B1C⊥C1M； (2)求三棱锥B-MNB1体积的最大值．
解：(1)要证明无论M在何处，总有B1C⊥C1M， 只要证明B1C⊥面AC1B即可，
∵BB1⊥底面ABC，
∴BB1⊥AB，又AB⊥BC，BC∩B1B＝B， ∴AB⊥面BCC1B1，又B1C?面BCC1B1， ∴B1C⊥AB，
∵BCC1B1为正方形，∴B1C⊥BC1， 又AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥面AC1B，又C1M?面AC1B， ∴B1C⊥C1M，即原命题得证．
11
(2)VB-MNB1＝VB1-BMN＝×4×BM×BN
3222?BM＋BN?28
＝BM·BN≤·?＝ 33??2?38∴三棱锥B-MNB1体积的最大值为 3
选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
4．(本题满分10分)[选修4－4，坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，π
θ－?＝2，曲线C2x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρsin??4?π
θ－?. 的极坐标方程为ρ＝2cos??4?(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的参数方程；
(2)设M，N分别是曲线C1，C2上的两个动点，求|MN|的最小值． π22
θ－?＝ρsin θ－ρcos θ＝2， 解：(1)依题意：ρsin??4?22所以曲线C1的普通方程为x－y＋2＝0.
π
θ－?＝2ρcos θ＋2ρsin θ， 因为曲线C2的极坐标方程为：ρ2＝2ρcos??4?所以x2＋y2－2x－2y＝0，
22即?x－?＋?y－?＝1，
2??2??
22
?x＝22＋cos θ
所以曲线C的参数方程为?(θ是参数)．
2y＝?2＋sin θ
2
(2)由(1)知，圆C2的圆心?
22?圆心到直线x－y＋2＝0的距离 ，
?22?d＝?2－2＋2?
2?2?
2
＝2，
又半径r＝1，所以|MN|min＝d－r＝2－1. 5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋1|(m∈R)的最小值为4. (1)求m的值；
111
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋2b＋3c＝m，求证：＋＋≥3.
a2b3c解：(1)f(x)＝|x－m|＋|x＋1|≥|(x－m)－(x＋1)|＝|m＋1|， 所以|m＋1|＝4，解得m＝－5或m＝3. (2)由题意，a＋2b＋3c＝3.
111?1111
于是＋＋＝(a＋2b＋3c)??a＋2b＋3c? a2b3c32ba3ca3c2b1
3＋＋＋＋＋＋? ＝?a2ba3c2b3c?3?1
≥?3＋23?
2ba·＋2a2b
3ca·＋2a3c
3c2b?
·＝3， 2b3c?
11
当且仅当a＝2b＝3c时等号成立，即a＝1，b＝，c＝时等号成立．
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