相似三角形(3)
一、根据已知，探索图形相似的条件
例题1、 如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形． （1）当AC、CD、DB满足怎样的关系式时，△ACP∽△PDB． （2）当△PDB∽△ACP时，试求∠APB的度数．
变式1、在直角三角形中，∠ACB=90°，在△ABC外做一个直角三角形BCD，使∠BDC=90°，设AB=5，BC=3，当CD为多长时，这两个三角形相似？
例题2、（动点问题）如图，在矩形ABCD
中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．
变式1如图，在矩形ABCD
中，AB=5cm，BC=10cm，动点P在AB边上由A向B作匀速运动，1分钟可到达B点；动点Q在BC边上由B向C作匀速运动，1分钟可到达C点，若P、Q两点同时出发，问经过多长时间，恰好有PQ⊥BD？
CQB P
DA
1
变式2．（七中）如图，△ABC中，AD⊥BC于D，下列条件：⑴∠B＋∠DAC＝90°；
CDAC2⑵∠B＝∠DAC；⑶ = ；⑷AB?BD?BC ，其中一定能够判定△ABC
ADAB是直角三角形的有（ ） A、1
B、2
C、3
D、4
例题3．（射影定理）已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D.
求证：（1）AB2?BD?BC；AC2?CD?BC；（2）AD2?BD?CD A
BDC例题4已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ， 求证：ＤＦ２＝ＣＦ?ＢＦ。
变式1.（?绵阳）如图，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=3，CD=4，则BC=
变式2、如图3-2，矩形ABCD中，AB=a，BC=b，M是BC的中点 ，DE?AM，E是垂足，求证：DE?
2ab4a?b22
2
二、相似三角形分类应用 1、相似三角形的性质。
例题1、（2011?徐州）如图①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．动点P以1cm/s的速度从点B出发，沿折线B-A-C运动到点C时停止运动．设点P出发x s时，△PBC的面积为y cm2．已知y与x的函数图象如图②所示．请根据图中信息，解答下列问题： （1）试判断△DOE的形状，并说明理由；
（2）当a为何值时，△DOE与△ABC相似？
变式1、如图5，在△ABC中，AB＝14cm，求△ADE的面积和周长。
B
D
AD5?，DE∥BC，CD⊥AB，CD＝12cm， BD9A E
图5
C
变式2、如图点M是Rt△ABC的斜边AB的中点，过M作MD⊥AB交AC于D，交BC的延长线于E。求证：MC是MD、ME的比例中项。
A
M
D
ECB
3
变式3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm．现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动．如果点P的速度是4cm/秒，点Q的速度是2cm/秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动的时间为t秒．
求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S； （2）当t=3秒时，P、Q两点之间的距离是多少？
（3）当t为多少秒时，以点C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？
2、相似三角形的判定。
例题2、（2011?泰州）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F．
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，并说明理由．
4
变式1.（2011?泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
变式2.（2010?眉山）如图，Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺 时针旋转得到的，连接CC′交斜边于点E，CC′的延长线交BB′于点F．（1）证明：△ACE∽△FBE；
（2）设∠ABC=α，∠CAC′=β，试探索α、β满足什么关系时， △ACE与△FBE是全等三角形，并说明理由．
5