2.2、采样定理及连续时间信号的傅里叶变换
2.2.1、采样定理
设模拟信号xa(t), 其傅立叶变换为Xa(jΩ)。用冲击串函数
?P?(t)??n????(t?nT)对xa(t)进行采样，得
??xa(t)?xa(t)?P?(t)??n???xa(t)?(t?nT)根据傅立叶变换的性质，两信号在时域相乘,其傅里叶变换等于两个信号分别的傅里叶变换的卷积，
??xa(t)?xa(t)?P?(t)?则
?n???xa(t)?(t?nT)
1Xa(j?)?Xa(j?)*P(j?)2?
说明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率Ωs=2π/T重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行周期延拓而成的。如果信号最高频谱
超过?s/2,那么在理想采样频谱中,各次调制频谱就会互相交叠,出???gXa(j?)*??(??2?Tn???现频谱的“混淆”现象。信号的采样定理：若模拟信号是有限带宽的，1??若保证采样频率Xa(jfs??jn?s)?其频谱的最高频率为fm。对其进行采样时，≥2fm，Tn???
6
则可由采样信号无失真地恢复出原模拟信号
Xa(jΩ )（ a ）－Ω c0Ω cPδ (jΩ )（ b ）－Ω s0Ω s＾Xa(jΩ )（ c ）－Ω s?s20?s2Ω s＾Xa(jΩ )（ d ）－Ω s0?Ω cΩ ss2
2.3 序列FFT
设：x(n)为一长度为N的序 , N?2MM为正整数 按n的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列，
令n?2rx1(r)?x(2r),r?0,1,???N2?1
n?2r?1x2(r)?x(2r?1),r?0,1,???N2?1
7
ΩΩΩΩ 则x(n)的DFT为
N?1N-1N?1X(k)??n?0x(n)WknN??x(n)WknN?n?0?x(n)WNknn?1n为偶n为奇
?
N/2?1N/2?1?r?0x1(r)(W)2?N2?j2?N22Nkr?WkN?r?0x2(r)(WN)2kr
W2N?e?j?eN/2?1X(k)??r?0?x(2r)W?x(r)W1?0rkrN/2N??WN/2N?2krk(2r?1)N/2?1NkNkrk?WNx(r)W?X(k)?WNX2(k)N/21r?02??x(2r?1)W?r?0其中X1(k)和X2(k)分别为x1(r)和x2(r)的N/2点DFT，即
N/2?1
X1(k)?X2(k)??r?0N/2?1x1(r)WN/2?DFT[x1(r)]x2(r)WN/2?DFT[x2(r)]krkr?r?0k?0,?,N/2?1所以一个N点的DFT可分解为两个N/2点的DFT。 由于X1(k)和X2(k)均以N/2为周期，且 而X(k)为N点
WNk?N2??WNkX(k?N/2)?X1(k?N/2)?WN?X1(k)?WNX2(k)N2kk?N/2X2(k?N/2)
X(k)可表示为
X(k)?X1(k)?WNX2(k)X(k?N2kkk?0,1,????1N2?1)?X1(k)?WNX2(k)k?0,1,??? 通过上述分解后，每个N/2点DFT只需要(N/2)2＝N2/4次复数相乘。
两个N/2点的DFT需要2 (N/2)2＝N2/2次复数乘,可见，分解后运算
8
量大约节省了一倍。
x(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)N/2点N/2点X1(0)X1(1)X1(2)DFTX1(3)X2(0)X2(1)X2(2)DFTX2(3)X(0)X(1)X(2)X(3)WW0N1NX(4)X(5)X(6)X(7)WW2N3N 与第一次分解相同，在进行分解从图可看出当N=2M时，要经过M级蝶算，每一级蝶算包含N/2个蝶形运算，所以总共需要的蝶形运算为：
N2?M?N2log2N每个蝶形运算需要一次复数乘和两次复数加法。所以N点的FFT
N2log2N个复数乘，
N?M?Nlog2N个复数加，例如，N=210=1024时，DFT与FFT
复数乘法运算之比为：
N2(N/2)log2N?10485765120?204.8
2.4滤波器的设计 2.4.1、IIRDF的设计
按通频带不同,可分为:低通滤波器(LP)、 高通滤波器(HP)、带通滤波器(BP)、 带阻滤波器(BS)
IIRDF的设计方法有双线性变换法和脉冲响应不变法，这两个都属于间接设计法。即：先设计模拟滤波器得到系统函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。即：
9
H(Z)?H(S)|S?G(Z)脉冲响应不变法是使：DF的
h(n)?ha(t)|t?nT?ha(nT)即对ha(t)进行采样，得到ha(nT)，将ha(nT)作为DF的h(n)，由h(n)求出H（Z），作为DF的系统函数。所以，已知H（S）通过变换
z?esT或s?1Tlnz可以得到DF的系统函数H（Z）。
双线性变换法的基本思想是：让描述DF的差分方程近似描述AF的微分方程。H（Z）与Ha（S）之间存在如下关系 由 可得
z?s?21?zT1?z?1?1H（Z）?Ha(S)|21?Z?1S?T1?Z?12T2T?s?s
总结：利用双线性变换法设计IIR DF的步骤:
（1）确定数字滤波器的技术指标：通带截止频率ωp、通带衰减αp、阻带截止频率ωs、阻带衰减αs。
(2)通过预变形法将数字滤波器的技术指标转换成模拟滤波器的技术指标。
(3)按照模拟滤波器的技术指标设计模拟滤波器Ha(s)。
10