2018年高考理科数学高频考点总结与强化训练含解析
专题 圆的方程
高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 2017新课标全国II 9 从近三年高考情况来看，圆的标准方程圆的方程 的求法是命题的热点，求解时，常利用配方法把圆的一般方程转化为标准方程，并指出圆心坐标及半径；直线与圆的位置关系常结合其他知识点进行综合考查，求解时重点应用圆的几何性质，一般为选择题、填空题，直线与圆、圆与圆的位置关系 难度中等，解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力. 2017新课标全国Ⅲ 10,12,20 2016新课标全国Ⅰ 10，20 ★★★★★ 2016新课标全国Ⅱ 4 2015新课标全国Ⅰ 14 2017新课标全国Ⅰ 15 2017新课标全国II 9 2017新课标全国Ⅲ 10,12,20 ★★★★★ 2016新课标全国Ⅰ 10，20 2016新课标全国Ⅱ 4 2016新课标全国III 16
考点1 圆的方程 题组一 直接求圆的方程
调研1 已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，且圆心在x轴上，则圆C的标准方程为 . 【答案】(x－2)＋y=10
222??(5?a)?1?r【解析】设所求圆C的方程为(x－a)＋y=r，把所给两点坐标代入方程得?， 222??(1?a)?3?r2
2
2
2
2
解得?
?a＝2?
2
??r＝10
，所以所求圆C的方程为(x－2)＋y=10.
22
【名师点睛】圆心在x轴上，可设圆心坐标为(a,0)，半径长为r，写出圆C的标准方程，将A，B两点坐标代入求a，r即可得圆C的方程． 题组二 利用圆的几何性质求圆的方程
调研2 已知圆C截y轴所得的弦长为2，圆心C到直线l：x－2y=0的距离为5
，且圆C被x轴分成的两5
段弧长之比为3∶1，则圆C的标准方程为 . 【答案】(x＋1)＋(y＋1)=2或(x－1)＋(y－1)=2
【解析】设圆C的方程为(x－a)＋(y－b)=r，则点C到x轴、y轴的距离分别为|b|，|a|.
2
2
2
2
2
2
2
??r＝a＋1，
由题意可知?
|a－2b|5
＝??55，2
2
2
2
2
r2＝2b2，
a＝－1，??
∴?b＝－1，??r2＝2
a＝1，??
或?b＝1，??r2＝2.
故圆C的标准方程为(x＋1)＋(y＋
2
1)=2或(x－1)＋(y－1)=2. ☆技巧点拨☆
求圆的方程的两种方法
1．几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． 2．代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 附：
（1）圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)＋(y－b)=r，特别地，当圆心在原点时，方程为x＋y=r. （2）圆的一般方程
2
2
2
2
2
2
DE?D2＋E2－4F?x＋y＋Dx＋Ey＋F=0，其中D＋E－4F＞0，表示以?－，－?为圆心，为半径的圆．
2?2?2
2
2
2
2
考点2 直线与圆的位置关系 题组一 与圆有关的对称问题
调研1 若直线y=kx与圆(x－2)＋y=1的两个交点关于直线2x＋y＋b=0对称，则点(k，b)所在的圆的方程为
2
2
1222122C．(x?)?(y?5)?1
2A．(x?)?(y?5)?1 【答案】A
1222122D．(x?)?(y?5)?1
2B．(x?)?(y?5)?1
1
【解析】由题意知直线y=kx与直线2x＋y＋b=0互相垂直，所以k=.又圆上两点关于直线2x＋y＋b=0对称，
2
12?1?2故直线2x＋y＋b=0过圆心(2,0)，所以b=－4，结合各选项可知，点?，－4?在圆(x?)?(y?5)?1上，
?2?2故选A． ☆技巧点拨☆
1．圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． 2．圆关于点对称：
（1）求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． 3．圆关于直线对称：
（1）求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置; （2）两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线． 题组二 直线与圆、圆与圆的位置关系
调研2 若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)＋y=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为 A．(－3，3) C．(－
33，) 33
B．[－3，3] D．[－
33
，] 33
2
2
【答案】D
【解析】解法一：如图，BC=1，AC=2，
∴∠BAC=30°，∴－
33
≤k≤. 33
|2k－0－4k|33
解法二：设直线l的方程为y=k(x－4)，则由题意知，≤1，∴－≤k≤. 2
331＋k解法三：过A(4,0)的直线l可设为x=my＋4，代入(x－2)＋y=1中得：(m＋1)y＋4my＋3=0， 由Δ=16m－12(m＋1)=4m－12≥0得m≤－3或m≥3.
133
∴l的斜率k=∈[－，0)∪(0，]，特别地，当k=0时，显然有公共点，
m33∴k∈[－33，]． 33
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
调研3 已知M是圆C：(x－1)＋y=1上的点，N是圆C′：(x－4)＋(y－4)=8上的点，则|MN|的最小值为
A．4
B．42－1 D．2
C．22－2 【答案】D
【解析】设圆C′、圆C的半径分别为R ，r，∵|CC′|=5＜R－r=7，∴圆C内含于圆C′，则|MN|的最小值为R－|CC′|－r=2. ☆技巧点拨☆
解决直线与圆、圆与圆位置关系问题的方法
（1）讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.
（2）圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题. 题组三 与圆有关的综合问题
调研4 抛物线y=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，其准线与x轴的交点为M，则过M，
2
A，B三点的圆的标准方程为________.
【答案】(x－1)＋y=4
【解析】∵抛物线y=4x与过其焦点且垂直于x轴的直线相交于A，B两点，∴不妨设A，B两点的坐标分别为：(1,2)，(1，－2)，又准线与x轴的交点为M，∴M点的坐标为(－1,0)， 则过M，A，B三点的圆的圆心在x轴，设圆心坐标为C(a,0)，
22则|CA|=|CM|，即(a?1)?(0?2)?a?(?1)，解得a=1.∴圆心坐标为(1,0)，半径为2.故所求圆的标
22
2
准方程为(x－1)＋y=4.
调研5 已知圆C1:?x?2???y?2??2内有一动弦AB，且AB?2，以AB为斜边作等腰直角三角形
2222
PAB，点P在圆外.
（1）求点P的轨迹C2的方程；
（2）从原点O作圆C1的两条切线，分别交C2于E,F,G,H四点，求以这四点为顶点的四边形的面积S. 【答案】（1）?x?2???y?2??4；（2）6. 【解析】（1）连接C1A,C1B，
22∵C1A?C1B?2,AB?2， ∴△C1AB为等腰直角三角形. ∵△PAB为等腰直角三角形， ∴四边形PAC1B为正方形. ∴PC1?2，
∴点P的轨迹是以C1为圆心，2为半径的圆， 故点P的轨迹C2的方程为?x?2???y?2??4. （2）如图，作C1N?OF于点N，连接C1E,C1F,C1O.
22
在Rt△OC1N中，∵OC1?22,C1N?2，∴ON?∴sin?C1ON?6. 1， 2∴?C1ON?30?.
∴△OEH与△OFG为正三角形.
∵△C1EN≌△C1FN，且C1E?C1F?2， ∴NE?NF?2. 3??4∴S?S△OFG?S△OEH?6?2?23??4?6?2?2?6.
【思路点拨】（1）可证△C1AB为等腰直角三角形，进而证明四边形PAC1B为正方形，从而可得点P的轨迹是以C1为圆心，2为半径的圆；