2-1、一阶马尔可夫链信源有3个符号
?u1,u2,u3?，转移概率为：p(u1u1)?1，
2p(u2u1)?12，p(u3u1)?0，p(u1u2)?13 ，p(u2u2)?0，p(u3u2)?23，p(u1u3)?13，p(u2u3)?23，p(u3u3)?0。画出状态图并求出各符号稳态概率。
解：由题可得状态概率矩阵为：
0??1/21/2??
02/3 [p(sj|si)]?1/3????1/32/30?? 状态转换图为：
令各状态的稳态分布概率为W1，W2，W3，则： W1=
111122W1+W2+W3 ， W2=W1+W3 , W3=W2 且：W1+W2+W3=1 233233?稳态分布概率为：
296 W1=，W2=，W3=
525252-2.由符号集｛０，１｝组成的二阶马尔可夫链，其转移概率为：
P(0|00)=0.8,P(0|11)=0.2,P(1|00)=0.2,P(1|11)=0.8,P(0|01)=0.5,p(0|10)=0.5,p(1|01)=0.5,p(1|10)=0.5画出状态图，并计算各符号稳态概率。 解：状态转移概率矩阵为：
?0.8 0.2 0 0??0 0 0.5 0.5??p(sjsi)???0.5 0.5 0 0???0 0 0.2 0.8??
令各状态的稳态分布概率为w1、w2、w3、w4，利用（2-1-17）可得方程组。
?w1?w1p11?w2p21?w3p31?w4p41?0.8w1?0.5w3?w?wp?wp?wp?wp?0.2w?0.5w?211222233244213 ?w?wp?wp?wp?wp?0.5w?0.2w11322333344324?3??w4?w1p14?w2p24?w3p34?w4p44?0.5w2?0.8w4且w1?w2?w3?w4?1；
55??w?p(00)??114?14???w?1?p(01)?1?27?7
解方程组得：? 即：??w?1?p(10)?1?37?7??55?w4??p(11)??14?142-3、同时掷两个正常的骰子，也就是各面呈现的概率都是1，求：
6（1）、“3和5同时出现”事件的自信息量；
（2）、“两个1同时出现”事件的自信息量； （3）、两个点数的各种组合的熵或平均信息量； （4）、两个点数之和的熵； （5）、两个点数中至少有一个是1的自信息量。
解：（1）3和5同时出现的概率为：p(x1)=111??2? 6618? ?I(x1)=-lb118bit4.1 7111?? 6636（2）两个1同时出现的概率为：p(x2)= ?I(x2)=-lb1?5.17bit 36（3）两个点数的各种组合（无序对）为： (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,3), (3,4),(3,5),(3,6) (4,4),(4,5),(4,6) (5,5),(5,6) (6,6) 其中，(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)的概率为1/36，其余的概率均为1/18 所以，?H(X)??15?1111lb?6?lb?4.337bit事件 18183636（4）两个点数之和概率分布为：
43x2
p136236336125463636i7636853694361031112521
363636信息为熵为：H???p(x)1bp(x)?3.27bit
ii?2（5）两个点数之中至少有一个是1的概率为：p(x3)? ?I(x3)=-lb11 3611?1.17bit 362-4.设在一只布袋中装有100个用手触摸感觉完全相同的木球，每个球上涂有一种颜色。100
个球的颜色有下列三种情况： （1）红色球和白色球各50个； （2）红色球99个，白色球1个； （3）红、黄、蓝、白色球各25个。
分别求出从布袋中随意取出一个球时，猜测其颜色所需要的信息量。 解：（1）设取出的红色球为x1，白色球为x2；有p(x1)?则有：H(X)??(lb11，p(x2)? 2212111?lb)=1bit/事件 222 (2) p(x1)?0.99,p(x2)?0.01;
则有：H(X)??(0.99lb0.99?0.01lb0.01)=0.081（bit/事件）
(1)?px()2px?()3px?() (3)设取出红、黄、蓝、白球各为x1、x2、x3、x4，有px则有：H(X)??4(lb)?2bit/事件
4?1 41414
2-5、居住某地区的女孩中有25%是大学生，在女大学生中有75%身高为1.6M以上，而女孩中身高1.6M以上的占总数一半。假如得知“身高1.6M以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：设女孩是大学生为事件A，女孩中身高1.6m以上为事件B，则p(A)=1/4, p (B)=1/2，
p (B|A)=3/4，则 P(A|B)=
p(AB)p(A)P(B|A)0.25?0.753? ?=
0.58p(B)P(B) I（A|B）＝log（1/p(A/B)）=1.42bit
2-6.掷两颗 ，当其向上的面的小圆点数之和是3时，该消息所包含的信息量是多少？当小圆点数之和是7时，该消息所包含的信息量又是多少？
解：（1）小圆点数之和为3时有（1,2）和（2,1），而总的组合数为36，即概率为p(x?3)?则
1，18I(x?3)??lbp(x?3)??lb1?4.17bit 18（2）小园点数之和为7的情况有（1,6），（6,1）（2,5）（5,2）（3,4）（4,3），则概率为
p(x?7)?11，则有 I(x?7)??lb?2.585bit 662-7、设有一离散无记忆信源，其概率空间为?（1）、求每个符号的自信息量；
（2）、信源发出一消息符号序列为
?X??x1?0x2?1x3?3x4?3????38? P141418?????202120130213001203210110321010021032011223210?，求该消息序列的自信息量及平均每个符号携带的信息量。
3?1.415bit 81 x2的自信息量为：I(x2)=-lb?2bit
41 x3的自信息量为：I(x3)=-lb?2bit
41 x4的自信息量为：I(x4)=-lb?3bit
8解：（1）x1的自信息量为：I(x1)=-lb（2）在该消息符号序列中，x1出现14次，x2出现13次，x3出现12，x4出现6次，所以，该消息序列的自信息量为：
I（xi）=14 I（x1）+13 I（x2）+12 I（x3）+6 I（x4）
?19.81bit?26bit?24bit?18bit?87.81bit平均每个符号携带的信息量为：
I2?87.81/45?1.95???比特/符号H(X)?p(x1)logp(x1)?p(x2)logp(x2)?p(x3)logp(x3)?p(x4)logp(x4)
3111?1.415??2??2??3 8448
?1.90b6it?
2-8．试问四进制、八进制脉冲所含的信息量是二进制脉冲的多少倍？
解;设二进制、四进制、八进制脉冲的信息量为
I2(X)??lb111?1bit I4(X)?lb?2bit I8(X)?lb?3bit 248所以，四进制、八进制脉冲信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍、3倍。
2-10 在一个袋中放5个黑球、10个白球，以摸一个球为实验，摸出的球不再放进去。求： （1）一次实验中包含的不确定度；
（2）第一次实验X摸出是黑球，第二次实验Y给出的不确定度； （3）第一次实验X摸出是白球，第二次实验Y给出的不确定度； （4）第二次实验包含的不确定度。
解：（1）一次实验的结果可能摸到的是黑球x1或白球x2，它们的概率分别是p(x1)?1，3p(x2)?2。所以一次实验的不确定度为 312112)?(log? H(X)?H(,?333332log?)30.?528?0.39b0it0.918
(2)当第一次实验摸出是黑球，则第二次实验Y的结果可能是摸到黑球x1或白球x2，它们的
概率分别是 p(y1x1)?25、p(y2x1)?。 77所以该事件的不确定度为
H(Yx1)???p(yix1)lopgyix(1??)i27(25l?og775 log7) ?0.516?0.347?0.863bit/符号
(3)当第一次实验摸出是白球，则第二次实验Y的结果可能是摸到黑球y1或白球y2，它们的概率分别是 p(y1x2)?59、p(y2x2)?。 1414所以该事件的不确定度为
5599H(Yx2)???p(yix2)logp(yix2)??(log?log)
14141414i （4）
?0.530?0.410?0.940bit/符号
2H(Y|X)???p(xi)H(Y|xi)=p(x1)H(Yx1)?p(x2)H(Yx2) =0.91bit/符号i?0二次实验B出现结果的概率分布是p(x,y)=p(黑，黑)= p(x,y)=p(白，黑)=
25，p(x,y)=p(黑，白)= ，212159，p(x,y)=p(白，白)= 2121所以二次实验的不确定度为 H(B)= ?22555599?log?log =0.91bit/符号 ?loglog
2121212121212121
2-11有一个可旋转的圆盘，盘面上被均匀地分成38份，用1，2，、、、，38数字标示，其中有2份涂绿色，18份涂红色，18份涂黑色，圆盘停转后，盘面上指针指向某一数字和颜色。 （1）若仅对颜色感兴趣，则计算平均不确定度；
（2）若对颜色和数字都感兴趣，则计算平均不确定度； （3）如果颜色已知时，则计算条件熵。
解：令X表示指针指向某一数字，则X={1,2,……….,38}
Y表示指针指向某一种颜色，则Y={绿色，红色，黑色} Y是X的函数，由题意可知p(xiyj)?p(xi) （1）仅对颜色感兴趣，则 H(c)=—
221818log—2??log =0.2236+1.0213 =1.245bit 3232323211?1.5798)log =- =5.249bit
0.30103838(2)对颜色和数字都感兴趣，则
H(n,c)=H(n)=38?(-
(3)如果颜色已知时，则
H（n|c）=H(n,c)-H(h)=5.249-1.245=4.004bit