与抛物线有结论
抛物线中有一些常见、常?y?k(x?p?)用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题2??y2?2px?时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。
p2结论一：若AB是抛物线y?2px(p?0)的焦点弦（过焦点的弦），且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2?，
42y1y2??p2。
证明：因为焦点坐标为F(
22pp,0),当AB不垂直于x轴时，可设直线AB的方程为： y?k(x?)， 222y12y22p4p2由得: ky?2py?kp?0 ∴y1y2??p，x1x2?。 ???2p2p4p24当AB⊥x轴时，直线AB方程为x?p2x1x2?。
4p，则y1?p，y2??p，∴y1y2??p2，同上也有：2例：已知直线AB是过抛物线y2?2px(p?0)焦点F，求证：
11?AFBF为定值。
pp，BF?x2?，又22证明：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义知：AF?x1?p2。 AF+BF=AB，所以x1+x2=AB-p，且由结论一知：x1x2?4则：1?1?AF?BF?AFBFAF?BFABABAB2 =?（常数） ?222pppppp(x1?)(x2?)x1x2?p(x1?x2)?p?(AB?p)?2242424AB?2Psin2?结论二：（1）若AB是抛物线y2?2px(p?0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。
p证明：（1）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，设直线AB:y?k(x?)
2p2p?由?y?k(x?2)得:,ky2?2py?kp2?0 ∴y1?y2?，y1y2??p2， ?k2?y?2px?1112p1?k22p(1?k2)2p(1?tan2?)2P2???2。 ∴AB?1?2y1?y2?1?2(y1?y2)?4y1y2?1?2kkkkk2tan2?sin?易验证，结论对斜率不存在时也成立。
（2）由（1）：AB为通径时，??90，sin2?的值最大，AB最小。
1
例：已知过抛物线y2?9x的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 。
解：由结论二，12= 则sin???9（其中α为直线AB的倾斜角）， sin2??2?3，所以直线AB倾斜角为或。
332结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。
（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
已知AB是抛物线y2?2px(p?0)的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。
(2)分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆与直线AB相
y 切。
证明：(1)设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线， 垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。 由抛物线定义：AM?AF，BN?BF，
111∴QP?(AM?BN)?(AF?BF)?AB，
222M P O N B A Q F x ∴以AB为直径为圆与准线l相切
（2）作图如（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，
M ∵AM?AF，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO， y A ∴∠AFM=∠MFO。同理，∠BFN=∠NFO，
1P ∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°， O F 2N 1B ∴MP?NP?FP?MN，
2∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB ∴以MN为直径为圆与焦点弦AB相切。
x 结论四：若抛物线方程为y2?2px(p?0)，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。
?y?k(x?2p)证明：设直线AB方程为:y?k(x?2p)，由 ?2得， △>0，x1?x2?k，x1x2??b
?y?2px∵
AO
⊥
BO
，
∴
AO⊥BO∴
x1x2?y1y2?x1x2?(kx1?b)(kx2?b)?(1?k2)x1x2?kb(x1?x2)?b2?0
2
将x1?x2?k，x1x2??b代入得，b?1。∴直线AB恒过定点（0，1）。
S?AOB?1112x1?x2?1?(x1?x2)2?4x1x2?k?4?1 222∴当且仅当k=0时，S?AOB取最小值1。
结论五（了解）：对于抛物线x2?2py(p?0)，其参数方程为?坐标为(2pt，显然kOP2pt)，O为抛物线的顶点，
2?x?2pt，2?y?2pt，设抛物线x2?2py上动点P2pt2??t，即t的几何意义为过抛物线顶点O的2pt动弦OP的斜率．
OB和OA垂直，例 直线y?2x与抛物线y2?2px(p?0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，
且线段AB长为513，求P的值．
解析：设点A，B分别为(2ptA2，2ptA)，(2ptB2，2ptB)，则tA?111?，tB???kOA??2． kOA2kOB2p?5?p??A，B的坐标分别为?，p?，(8p，?4p)．∴AB??8p???(p?4p)2?13p?513．∴p?2．
22?2???
练习：
1. 过抛物线y?ax2(a?0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别
是p，q，则
11?= pq 【解析：化为标准方程，得x2?y(a?0)，从而2p?．取特殊情况，过焦点F的弦PQ垂直于对称轴，则PQ为通径，即PQ?2p?，从而p?q?1a111，故??4a】
pq2a1a1a2.设抛物线y2?2px(p?0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．
??0?．设直线AB的方程为x?my?【证明：抛物线焦点为F?，?p?2p，代入抛物线方程，得2C在准线∥轴，且点x，B(x，y2)，则y1y2??p2． ∵BCy2?2pmy?p2?0．若设A(x1，y1)2kCO?2p； y1y12p?， 故kCO?kAO，即直线AC经过原点O．】 x1y1 又由y12?2px1，得kAO?，，准线方程是x?y?2?0，求抛物线的方程以及顶点坐标和对称3.已知抛物线的焦点是F(11)轴方程．
3
【解：设P(x，y)是抛物线上的任意一点，由抛物线的定义得(x?1)2?(y?1)2? 整理，得x2?y2?2xy?8x?8y?0，此即为所求抛物线的方程．
x?y?22．
，且与准线x?y?2?0垂直的直线，因此有对称轴方程 抛物线的对称轴应是过焦点F(11)y?x．
，?1)，于是线段MF的中点就是抛物线的顶点， 设对称轴与准线的交点为M，可求得M(?10)】 坐标是(0，
0)，4..抛物线的顶点坐标是A(1，准线l的方程是x?2y?2?0，试求该抛物线的焦点坐标和方程．
解：依题意，抛物线的对称轴方程为2x?y?2?0．
???．设焦点为F，则FM的中点是A，故 设对称轴和准线的交点是M，可以求得M??，55???，得焦点坐标为F???． 再设P(x，y)是抛物线上的任一点， 55??4262根据抛物线的定义得
22x?2y?24??2??x??y??????5??5?5?，化简整理得
4x2?y2?4xy?4x?12y?0，即为所求抛物线的方程．
5.已知A，B为抛物线x2?4y上两点，且OA?OB，求线段AB中点的轨迹方程． 解析：设kOA?t，OB?OA?kOB??，
??4t2)，B??，2?． 据t的几何意义，可得A(4t，tt??441t?1?4??1?x?4t??2???t??，?2?t??t??设线段中点P(x，y)，则?
?y?1?4t2?4??2?t2?1?.?????2?t2?t2???消去参数t得P点的轨迹方程为x2?2(y?4)．
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