新力学习题答案（四）
4—1．如本题图，一质量为m的质点自由降落，在某时刻具有速度v。此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d1、d2、d3。求
A（1）质点对三个点的角动量；
d1（2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。
???解：（1）J?r?mvJA?d1mv(方向垂直纸面向里）(方向垂直纸面向里）Bd2?mvd3CJB?d2mvsin??d1mvJC?d3mvsin0?0?????(2)M?r?F?r?mgMA?d1mg(方向垂直纸面向里）(方向垂直纸面向里）MB?d2mgsin??d1mgMA?d3mgsin0?0
???vy?4—2.一质量为m的粒子位于（x,y)处，速度为v?vxij,并受到一个沿?x方向的力f。求它相对于坐标原点的角动量和作用在其上的力矩。?????y???v?解：J?r?mv?xij?mvij???xy???mxvy?myvxk????????y???mgk?M?r?F?r??f?mg??xij??fi??ymgi??xmg?j?yfk??????4—3.电子的质量为9.1?10?31kg，在半径为5.3?10?11m的圆周上绕氢核作匀率速运动。已知电子的角动量为h/2?(h为普朗克常量，等于6.63?10?34J?s),求其角速度。解：依题有：J?Rmv?mR2??h2?h6.63?10?34???22?mR2?3.14?9.1?10?31?5.3?10?11??2?1.13?1017?弧/秒?4—4.如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，我们可将它逐渐拉短。设摆长为l1时摆锤的线速度为v1，摆长拉倒l2时，摆锤的速度v2为多少？圆锥的顶角有什么变化？
O
解：分析：摆锤受到绳子张力和重力的作用，此二力对过O沿管子方向均无力矩分量， 所以过O沿管子方向（即竖直方向）上角动量守恒。
l1v1sin?1?l2v2sin?2?v2?l1v1sin?1l2sin?2摆锤作圆周运动,当顶角为?时有:?Tcos??mgv2?22:tg?sin???mvmv两式相除得glTsin????rlsin??223tg?1sin?1v1l2v1l2l2sin2?2??2??32tg?2sin?2v2l1?lvsin??2l1sin?1111??lsin???l12??23tg?1sin3?1l2??又l2?l1tg?2sin3?2l13??1??2?顶角变大?
4—5．如本题图，在一半径为R、质量为m的水平转台上有一质量是它一半的玩具汽车。起初小汽车在转台边缘，转台以角速度?绕中心轴转动。汽车相对于转台沿径向向里开，当它走到R/2初时，转台的角速度变为多少？动能改变多少？能量从哪里来？ 解：由汽车和转台组成的系统角动量守恒。
m1mv汽?mR2??RR??mR2?222RRm1mRR汽车走到时：J'?I转?'?v'汽切向?mR2???'2222425?mR2?'88又：J?J'??'??511转台动能改变为：?E?I转?'2?I转?2222??39118??2?2??mR??????mR2?2?0??5??10022??能量从汽车对转台的摩擦力作功而来。起初:J?I转??R
4—6．在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v时，转台怎样转动？
解：对速度产生影响的是汽车与转台之间的摩擦力。对系统而言，摩擦力是内力。
设汽车的速度为v1,转台边缘的速度为v2,则:v1?v2?v(1)2m1m211m21111?v?2v2v1?I转?2?v1?mR2?2??m折合v2?m222222222?R?m?222即:v12?v2?v2(2)32由(1)(2)?6v2?6vv2?v2?0m?v2??3v?3v即转台沿相反的方向转动.64—7．两质点的质量分别为m1、m2（m1大于m2），栓在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度?在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量大？角动量之比为多少？
解：先求质心位置：m设r1与r2,则有：1,m2距质心分别为m2?r?l1?m1?m2?r1?r2?l????mr?mr22?11?r?m1l1?m1?m2?两质点对质心的角动：量?m2?m1m2??2?J1?r1?m1v1?m1r12??m1??l?m?l?22?m?m??m1?m2?2??1?m1?m1m2??2?J2?r2?m2v2?m2r2??m2??l??m?l2?12??m1?m2??m1?m2?又:m1?m2?J1?J24—8．在上题中，若起初按住m2不动，让m1绕着它以角速度?旋转。然后突然将m2 放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角动量和绳中的张力。设绳长为?。
22解：突然放开m2后，m1、m2组成的系统在水平方向不受力，总动量守恒:m1v1?m1?l??m1?m2?vc即质心作匀速直线运动
?vc?m1?lm1?m2突然放开m2后的那一瞬间，系统质对心角动量守恒先求质心位置：设m1,m2距质心分别为r1与r2,则有：m2?r?l1?m1?m2?r1?r2?l????mr?mr22?11?r?m1l1?m1?m2?两质点对质心的角动：量?m2?m1m2??2?J1?r1?m1v1?m1r12??m1??l?m?l?22?m?m??m1?m2?2??1?m1?m1m2??2?J2?r2?m2v2?m2r2??m2??l??m?l2?12??m1?m2??m1?m2?m1m22J?J1?J2?l?m1?m22m1v1m1m2绳中的张力：T??m1?2r1?l?2r1m1?m2224—9．两个滑冰运动员，体重都是60kg，他们以6.5m/s的速率垂直地冲向一根10m长细杆
的两端，并同时抓住它，如本题图所示。若将每个运动员看成一个质点，细杆的质量可以忽略不计。
（1）求他们抓住细杆前后对于其中点的角动量；
（2）他们每人都用力往自己一边收细杆，当他们之间距离为5.0m时，各自的速率是多少？ （3）求此系杆中的张力；
（4）计算每个运动员在减少他们之间距离的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。
解：两人和杆组成的系统角动量守恒，质心在杆的中点。
(1)各运动员在抓住杆前后对杆中点的角动量不变，均为：??J?r?mv?rmv?5.0?60?6.5?1950kgm2/s??(2)在运动员往自己边收杆的过程中，角动量守恒：即J?J'rrmv?r'mv'?mv'?v'?2v?13m/s2mv'260?132(3)此时绳子的张力：T???4056Nr'5.0/211(4)每位运动员动能的变化：?E?mv'2?v2??60?132?6.5222?3802.5焦耳2J?2J'????
4—10．在光滑的水平桌面上，用一根长为?的绳子把质量为m的质点联结到一固定点O。起初，绳子是松弛的，质点以恒速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b，当此质点与O的距离达到?时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。 （1）求此质点的最终动能与初始动能之比。能量到哪里去了？
（2）当质点作匀速率圆周运动后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O的角动量如何变化？
12解：(1)E初?mv021122E终?m?v0sin???mv0sin2?22E终?sin2??1其它能量转变成绳的弹性势能。E初（2）绳突然断后，m将作直线运动?lv0b由于无外力作用（重力与支持力相抵消），所以m对O的角动量不变，为:J?lmv0sin?4—11．图中O为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r2（k为一常量）。 （1）求此力场的势能；
（2）一质量为m的粒子以速度v0、瞄准距离b从远处入射，求它能达到的最近距离和此时刻的速度。
解：（1）r处的势能：Ep?(2)设最近距离为b：??r??f?dr???rkkdr?r2r（这是取无穷远处为能势零点的）1k12机械能守恒：mv0??mv22R2角动量守恒：mv0b?mvR由（a)(b)求出：R?v?
2mv03mbv042k?k2?m2v0b(a)(b)42k?k2?m2v0b