当三次自然样条函数S (x i 满足以下条件时:(1S (x i =y i (i=0,1,…,n (2在每个子区间(x i ,x i+1上是一个三次多项式(3在〔x 0,x n 〕上有一到二阶连续导数,且在端点有S\
可以证明S (x 存在着唯一的数学公式,形式如下:过n 个 已知点,ξi 和x i (或y i 在区间
(x i ,x i+1(i=0,1,2,……,n-1上的三次样条函数关系式为: S i (x =ζ(x i +(x-x i ζ(x i ,x i-1+(x-x i (
x-x i-1ζ(x,x i ,x i-1式中:一阶微商ζ(x i ,x i-1=(ζi+1-ζi /(x i+1-x i 。
二阶微商ζ(x,x i ,x i-1=[ζ\-1][ζ(x i ,x i-1-ζ(x,x i ]/(x i-1-x i 由于ξ\在(x i ,x i+1上是一次多项式,因此:ζ\-x i ζ\-1而ξ\(i=1,2,……,n-1满足系数矩阵为对称三角阵的线性方程组:
(x i ,x i-1ζ\-1+2(x i+1-x i-1ζ\-1-x i ζ\
(x i-1=16[ζ(x i ,x i-1-ζ(x i-1,x i ]ζ(x 0=ζ\用追赶法解方程组(3式,得系数ξ\求得插值点的ξ值,再按(1式算出正常高h 。
5应用实例
在南方某市3河涌测量过程中,为了检测GPS 水准测量的
精度的可靠性,对测区内部分点分别采用了传统几何水准测量和GPS 水准测量两种方法独立进行测量。本次测量共选取了(20个水准点,其中(4个已知点可以包围整个测区,(16个未知点。几何水准测量采用的是WILD-NA2水准仪进行的三等水准测量,GPS 外业测量采用的是Trimble5700双频接收机按照航道测量D 级网要求进行观测,内业计算采用曲面拟合模型进
行计算。为了客观的反映两种方法的精度情况,
对两种测量方法的成果进行比较,以相应等级的水准测量高差限差为标准,以距离已知点最近的水准点作为几何水准高差统计依据。
测区点位分布图如下: 测量统计结果如下:
通过上表数据可以发现,本次测量的GPS 水准方法能符合 三等水准测量规范要求。 6结束语
随着现代GPS 技术的发展,特别是厘米级似大地水准面的 进展,为GPS 水准测量提供了技术基础,
使高效率的GPS 水准在某些情况下可以取代劳动强度大、
工作效率低的传统水准测量,从而节省大量的财力物力,从本文实验的结果并结合前人的研究成果来看:
(1在平原或丘陵地区的一般工程测量中,选择合适的数学模型,GPS 高程拟合的方法能够达到三等水准测量的精度。
(2已知点的选取对拟合的精度影响很大,因此应该尽量选 取数量足够的、
分布均匀的、并能包围整个测区的已知点。(3应当根据测区实际情况合理选择拟合起算点的个数。对地形比较复杂的测区,应采用分区计算的方法。
(4根据不同测区,选用合适的拟合模型。对高差大于100m 的测区,一般要加地形改正。参考文献:
[1]徐绍铨,张华海,杨志强等.GPS 测量原理及应用[M].武汉:武汉大学出版社,2006.
[2]乔仰文,
辛久志,王晓辉.GPS 高程拟合的几种常用方法.东北测绘,1999. [3]沈学标,
孙文兵等.提高GPS 水准高程拟合精度的讨论.地矿测绘,2000. [4]陈俊勇、李建成、宁津生等.中国似大地水准面,测绘学报,2002. 序号从点 到点
距离(km 三等水准高差(m GPS 拟合高差(m 高差之 差(mm
三等水准限差(mm 是否满足 水准限差
要求1已知点1未知点1 4.031-11.516-11.5226±24是2已知点1未知点2 6.918 2.156
2.165-9±31是3已知点1未知点3 6.200-5.285-5.275-10±29是4已知点2未知点40.531-8.554-8.551-3±8是5已知点2未知点5 4.284-6.296-6.3004±24是6已知点2未知点6 2.723-4.415-4.409-6±19是7已知点2未知点7 5.332
3.156
3.1524±27是8已知点3未知点8 5.540-0.561 -0.5698±28是9
已知点3未知点9 4.768-14.462-14.479
17±26是10已知点3未知点105.927-2.561-2.5687±29是11已知点4未知点113.813-5.161-5.152-9±23是12已知点4未知点125.504 1.748 1.756-8±28是13已知点4未知点135.909
2.336
2.3279±29是14已知点4未知点14
3.665-5.863-5.8707±22是15已知点4未知点153.373-3.872-3.867-5±22是16已知点4未知点162.986-1.023
-1.018 -5 ±20 是 信息技术 学界 88