则绳所受法向支持力线密度为：
n =
?NT??T== ① ?LR??R以M 、m分别为研究对象，根据牛顿定律有： Mg－T = Ma ② T－mg = ma ③ 2Mmg M?m2Mmg将④式代入①式得：n =
(M?m)R由②、③解得：T =
例10：粗细均匀质量分布也均匀的半径为分别为R和r的两圆环相切。若在切点放一质点m ，恰使两边圆环对m的万有引力的合力为零，则大小圆环的线密度必须满足什么条件？
解析：若要直接求整个圆对质点m的万有引力比较难，当若要用到圆的对称性及要求所受合力为零的条件，考虑大、小圆环上关于切点对称的微元与质量m的相互作用，然后推及整个圆环即可求解。
如图3—10所示，过切点作直线交大小圆分别于P 、Q两点，并设与水平线夹角为α ，当α有微小增量时，则大小圆环上对应微小线元：
ΔL1 = R?2Δα ，ΔL2 = r?2Δα 其对应的质量分别为：
Δm1 = ρ1Δl1 =ρ1R?2Δα ，Δm2 = ρ2Δl2 =ρ2r?2Δα
由于Δα很小，故Δm1 、Δm2与m的距离可以认为分别是： r1 = 2Rcosα ，r2 = 2rcosα
所以Δm1 、Δm2与m的万有引力分别为： ΔF1 =
Gm?m2G?2R?2??mGm?m1G?1R?2??m=，ΔF == 2
(2Rcos?)2r12r22(2rcos?)2
由于α具有任意性，若ΔF1与ΔF2的合力为零，则两圆环对m的引力的合力也为零， 即：
G?1R?2??mG?2R?2??m=
(2Rcos?)2(2rcos?)2?1R= ?2r解得大小圆环的线密度之比为：
例11：一枚质量为M的火箭，依靠向正下方喷气在空中保持静止，如果喷出气体的
速度为v，那么火箭发动机的功率是多少？
解析：火箭喷气时，要对气体做功，取一个很短的时间，求出此时间内，火箭对气体做的功，再代入功率的定义式即可求出火箭发动机的功率。
选取在Δt时间内喷出的气体为研究对象，设火箭推气体的力为F ，根据动量定理，
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有：FΔt = Δm?v
因为火箭静止在空中，所以根据牛顿第三定律和平衡条件有：F = Mg
即：Mg?Δt = Δm?v ，或者：Δt =
?m?v
Mg
1对同样这一部分气体用动能定理，火箭对它做的功为：W =Δmv2
21?mv21W所以发动机的功率：P ==2=Mgv
?mv2?tMg例12：如图3—11所示，小环O和O′分别套在不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子穿过环O′，绳的两端分别系在A′点和O环上，设环O′以恒定速度v向下运动，求当∠AOO′= α时，环O的速度。
解析：O 、O′之间的速度关系与O 、O′的位置有关，
即与α角有关，因此要用微元法找它们之间的速度关系。
设经历一段极短时间Δt ，O′环移到C′，O环移到C ，自C′与C分别作为O′O的垂线C′D′和CD ，从图中看出。
ODO?D?OC =，O′C′=，因此：
cos?cos?OC + O′C′=
OD?O?D? ①
cos?因Δα极小，所以EC′≈ED′，EC≈ED ，从而：
OD + O′D′≈OO′－CC′ ② 由于绳子总长度不变，故：OO′－ CC′= O′C′ ③
O?C?1由以上三式可得：OC + O′C′=，即：OC = O′C′(－1)
cos?cos?等式两边同除以Δt得环O的速度为：v0 = v(
1－1) cos?例13： 在水平位置的洁净的平玻璃板上倒一些水银，由于重力和表面张力的影响，水银近似呈现圆饼形状（侧面向外凸出），过圆饼轴线的竖直截面如图3—12所示，为了计算方便，水银和玻璃的接触角可按180°计算。已知水银密度ρ = 13.6×10kg/m ，水银的表面张力系数σ = 0.49N/m 。当圆饼的半
径很大时，试估算其厚度h的数值大约为多少？（取1位有效数字即可）
解析：若以整个圆饼状水银为研究对象，只受重力和玻璃板的支持力，在平衡方程中，液体的体积不是h的简单函数，而且支持力N和重力mg都是未知量，方程中又不可能出现表面张力系数，因此不可能用整体分析列方程求解h 。现用微元法求解。
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3
3
在圆饼的侧面取一个宽度为Δx ，高为h的体积元，，如图3—12—甲所示，该体积元受重力G 、液体内部作用在面积Δx?h上的压力F ，则：
11F =PS =ρgh?Δxh =ρgh2?Δx
22还有上表面分界线上的张力F1 = σΔx和下表面分界线
上的张力F2 = σΔx 。作用在前、后两个侧面上的液体压力互相平衡，作用在体积元表面两个弯曲分界上的表面张力的合力，当体积元的宽度较小时，这两个力也是平衡的，图中都未画出。
由力的平衡条件有：F－F1cosθ－F2 = 0 1即：ρgh2?Δx－σΔx?cosθ－σΔx = 0
2解得：h =2?(1?cos?)－
= 2.7×1031?cos? ?g由于0＜θ＜
?－－
，所以：1＜1?cos?＜2，故：2.7×103m＜h＜3.8×103m 2－
－
题目要求只取1位有效数字，所以水银层厚度h的估算值为3×103m或4×103m 。 例14：把一个容器内的空气抽出一些，压强降为p ，容器上有一小孔，上有塞子，现把塞子拔掉，如图3—13所示。问空气最初以多大初速度冲进容器？（外界空气压强为p0 、密度为ρ）
解析：该题由于不知开始时进入容器内分有多少，不知它们在容器外如何分布，也不知空气分子进入容器后压强如何变化，使我们难以找到解题途径。注意到题目中“最初”二字，可以这样考虑：设小孔的面积为S ，取开始时位于小孔外一薄层气体为研究对象，令薄层厚度为ΔL ，因ΔL很小，所以其质量Δm进入容器过程中，不改变容器压强，故此薄层所受外力是恒力，该问题就可以解决了。
由以上分析，得：F = (p0－p)S ① 1对进入的Δm气体，由动能定理得：F?ΔL =Δmv2 ②
2
而 Δm = ρSΔL ③ 联立①、②、③式可得：最初中进容器的空气速度：v =例15：电量Q均匀分布在半径为R的圆环上（如图3—14所示），求在圆环轴线上距圆心O点为x处的P
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2(p0?p) ? 点的电场强度。
解析：带电圆环产生的电场不能看做点电荷产生的电场，故采用微元法，用点电荷形成的电场结合对称性求解。选电荷元Δq = RΔθ量为：
ΔEx = k
R??Q?qcosα = k?2?R(R2?x2)r2xR2?x2Q，它在P点产生的电场的场强的x分2?R kQx2?(R2?x2)3kQx(R?x)223根据对称性：E = ΣΔEx =kQx2?(R2?x2)3Σθ =?2π =
由此可见，此带电圆环在轴线P点产生的场强大小相当于带电圆环带电量集中在圆环的某一点时在轴线P点产生的场强大小，方向是沿轴线的方向。
例16：如图3—15所示，一质量均匀分布的细圆环，其半径为R ，质量为m 。令此环均匀带正电，总电量为Q 。现将此环平放在绝缘的光滑水平桌面上，并处于磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向竖直向下。当此环绕通过其中心的竖直轴以匀角速度ω沿图示方向旋转时，环中的张力等于多少？（设圆环的带电量不减少，不考虑环上电荷之间的作用）
解析：当环静止时，因环上没有电流，在磁场中不受力，则
环中也就没有因磁场力引起的张力。当环匀速转动时，环上电荷也随环一起转动，形成电流，电流在磁场中受力导致环中存在张力，显然此张力一定与电流在磁场中受到的安培力有关。由题意可知环上各点所受安培力方向均不同，张力方向也不同，因而只能在环上取一小段作为研究对象，从而求出环中张力的大小。在圆环上取ΔL = RΔθ圆弧元，受力情况如图3—15—甲所示。因转动角速度ω而形成的电流：I =力：ΔF = IΔLB =
R?QBΔθ 2?Q?，电流元IΔL所受的安培2?
圆环法线方向合力为圆弧元做匀速圆周运动所需的向心力，故： 2Tsin
??－ΔF = Δmω2R 2????≈，故有： 22当Δθ很小时，sinTΔθ－
R?QBΔθ = Δmω2R 2?mR?QBm?2R∵Δm =Δθ ，∴TΔθ－Δθ =Δθ
2?2?2? 微元法第9页（共14页）
解得圆环中张力为：T =
R?(QB + mω) 2?例17：如图3—16所示，一水平放置的光滑平行导轨上放一质量为m的金属杆，导轨间距为L ，导轨的一端连接一阻值为R的电阻，其他电阻不计，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面。现给金属杆一个水平向右的初速度v0 ，然后任其运动，导轨足够长，试求金属杆在导轨上向右移动的最大距离是多少？
解析：水平地从a向b看，杆在运动过程中的受力分析如图3—16—甲所示，这是一个典型的在变力作用下求位移的题，用我
们已学过的知识好像无法解决，其实只要采用的方法得当仍然可以求解。
设杆在减速中的某一时刻速度为v ，取一极短时间Δt ，发生了一段极小的位移Δx ，在Δt时间内，磁通量的变化为：
Δφ = BLΔx ，I =
???BL?x== RR?tR?t
B2L2?x金属杆受到安培力为：F安 = BIL =
R?t由于时间极短，可以认为F安为恒力，选向右为正方向，在Δt时间内，安培力F安的冲量为：
B2L2?xΔI =－F安Δt =－
R
对所有的位移求和，可得安培力的总冲量为：
B2L2?xB2L2I = Σ (－) =－x ①
RR其中x为杆运动的最大距离，对金属杆用动量定理可得： I = 0－mv0 ② 由①、②两式得：x =
mv0R B2L2例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的电容为C ，S是单刀双掷开关，MN 、PQ是两根位于同一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B的均匀磁场中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面向里的方向。L1和L2是两根横放在导轨上的导体小棒，质量分别为m1和m2 ，且
同，开始时两根小棒均静止在导轨上。现将开关S先合向1 ，然后合向2 。求：
（1）两根小棒最终速度的大小；
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m1＜m2 。它们在导轨上滑动时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻相