4k?1的素数,由小到大排列为p1,p2,p3,...,pM.
4用p1,p2,p3,...,pM可以把N?1以内的含素因子4k?1的合数挑选出来.由引理三数组M只含4k?1的素因子.
2我们用p1,p2,p3,...,pM.去筛数组M.因为形如N?1的素数是有限个的.所以对数组M的所有数.用
p1,p2,p3,...,pM去筛.应该筛净,而没有剩余.即剩余部分应该等于零.（一）
另一方面,由上面的分析用p1,p2,p3,...,pM.去筛.对于大于N的数,用p1,p2,p3,...,pM.中的每一个pi只
2能筛去其中的，那末用p1,p2,p3,...,pM.筛后剩余部分为：
pi数组M用p1,p2,p3,...,pM筛后,剩余的偶数个数为:
?(1?i?1M26 )?PiPMN2?NM23(N2?N)3(N2?N)(1?)??2?PPN2?1i?1iMN2?1?N?13(N?1)?3?3??2
N2?1N2?1N?4,N2?1?N2?4N?3N?N?3N?3这说明用p1,p2,p3,...,pM去筛数组M的所有的数是筛不净的.（二）
（一）与（二）矛盾.产生矛盾的原因，是由假设形如N?1的素数是有限个所造成的.这就证明了形
如N?1的素数是无限多的.
我们不仅证明了形如N?1的素数是无限的.而且对于已知的N?1的素数，对于下一个形如N?1的素数的范围作出了估计., N?1与N?1之间至少还有两个形如N?1的素数.
24222222参考文献:
[1],柯召,孙琦 《数论讲义》高等教育出版社１９８６年３月第１版 第１２３－１２４页 [2] 闵嗣鹤 严世健 《初等数论》人民教育出版社１９８２年１１月 第二版 第９９页
[3]胡育昆 王凌云 胡鲜芳 “关于形如N?1表素数的讨论”洛阳师专学报(自然科学版)１９９１.２. [4]华罗庚 《数论导引》 科学出版社 １９５７年７月 第一版 第１２９－１３４页。
2About the Prime Numbers of N+ 1
Ma Guo-xiang (Luoyang fourth Railway school,471002)
2
Abstract:By using the primary way in this thesis,we have found a sifting methed which can be used
2to prove the fact N?1 has infinite prime numbers. Key wards: prime number lifted sifting methed
洛阳师范学院学报(自然科学版) 2001年第二期
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