思路分析：(1)①矩形是对角线相等的四边形；
②四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线AC、BD互相垂直时四边形MNPQ是正方形；
⑵①根据题意画出图形，根据图形分析确定DF垂直平分AB，从而计算面积SABED=S△ABD+S△BCD；
②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，进而求得四边形ABED面积的最大值. 解：(1)①矩形；②AC⊥BD；
⑵①∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，∴BD=AC=5, 作DF⊥AB于F，∵AD=BD，∴DF垂直平分AB，
∴BF=2,由勾股定理得DF=21， 由题意知SABED=S△ABD+S△BCD=
1111×AB×DF+×BC×BF=×4×21+×3×2=221+3； 2222
②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的直角三角形的直角顶点，所以AE=6,DO=3,在△ABC中，由面积公式得点B到AC的距离为
12，所以四边形ABED面积的最大值= 5S△AED+S△ABE=
1211×6×3+×6×=16.2.
522
11
27.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=-(1)求二次函数的表达式；
12
x+bx的图像过点A(4,0),顶点为B，连接AB、BO. 2(2)若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CP的对称点为B′，当△OCB′为等边三角形时，求BQ的长度；
(3)若点D在线段BO上，OD=2BD，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标.
思路分析：(1)将A点坐标代入y=-
12
x+bx求得二次函数的表达式； 2(2)根据题意画出图形，根据图形分析，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，由∠B=90°,根据特殊三角函数值求得BQ的长；
(3)按点F在OB上和点B在OA上进行讨论确定点E的位置，当点F在BA上，点E与点A重合时△DOF与△DEF全等；当F在OA上，DE∥AB时△DOF与△DEF全等，点O关于DF的对称点落在AB上时△DOF与△DEF全等.
解：(1)将A(4,0)代入y=-
1212
x+bx得，-×4+b×4=0,解得b=2, 2212
x+2x； 2所以二次函数的表达式为y=-
12
(2)根据题意画出图形，二次函数y=-
12
x+2x的顶点坐标为B(2,2)，与两坐标轴的交点坐标为O(0,0)、A(4,0).此时2OB=2
2,BC=,所以2，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，因为∠B=90°
tan∠QCB=QB:CB=3,所以QB=6；
(3) ①当点F在OB上时，如图，当且仅当DE∥OA，即点E与点A重合时△DOF≌△FED，此时点E的坐标为E(4,0)；
②点F在OA时，如图DF⊥OA，当OF=EF时△DOF≌△DEF，由于OD=2BD，所以点D坐标为(
44，)，点F坐33标为(
48，0)，点E坐标为(，0)； 33
点F在OA时，如图,点O关于DF的对称点落在AB上时，△DOF≌△DEF，此时OD=DE=2BD=
13
432，BE=
236，作BH⊥OA于H，EG⊥OA于G，由相似三角形的性质求得HG=
233，所以点E坐标为(2+
233，2-
233)．
综上满足条件的点E的坐标为(4,0)、(
82，0)、(2+333，2-
233)．
28.(10分)如图，已知一次函数y=-(1)求线段AB的长度；
4x+4的图像是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B. 3(2)设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N. ①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E.直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标.
思路分析：(1) 求A、B两点坐标，由勾股定理求得AB的长度；
(2)①根据题意画出图形，根据△AOB∽△NHA，△HAN≌△FMA计算出线段FM与OF的长；
②分点P位于y轴负半轴上和点P位于y轴正半轴上两种情况进行分析，借助于相似三角形的对应线段比等于相似比列方程求得交点Q坐标，再将点Q坐标代入AB及NP解析式求得交点P的坐标. 解：(1)函数y=-
4x+4中，令x=0得y=4,令y=0得，x=3, 所以A(0,4),B(3,0).AB=32?42=5. 3(2)①由图1知,当⊙N与x轴相切于点E时，作NH⊥y轴于H，则四边形NHOE为矩形，HO=EN=AM=AN，
14
∵∠HAN+∠OAB=90°，∠HNA+∠HAN=90°,∴∠OAB=∠HAN，因为AM⊥AN，所以△AOB∽△NHA， 图1 ∴
AHHNAN==，设AH=3x，则HN=4x,AN=NE=OH=5x, ∵OH=OA+AH,∴3x+4=5x, ∴x=2, OBAOAB∴AH=6,HN=8,AN=AM=10. ∵AM=AN，∠OAB=∠HAN，∴Rt△HAN≌Rt△FMA, ∴FM=6,AF=8,OF=4, ∴M(6,-4).
?k?1?b?4?②当点P位于y轴负半轴上时，设直线AN的解析式为y=kx+b，将A(0,4),N(8,10)代入得?，解得?3，
b??8k?b?10??4所以直线AN的解析式为y=
163x+4.所以点C坐标为(-，0),过D 34
作x轴的垂线可得点D(16，16).设点P坐标为(0,-p),N(8，10)则直线NP解析式为y=
10?px-p,作EF⊥CD于F，8CE=
1640202080+8=,AC=，CD=+20=,由相似三角形性质可得EF=8,△CDE∽△APQ，则
333334?p点Q横坐标绝对值（34?p）?，解得点Q的横坐标绝对值为，将点Q横坐标绝对值代入AB及NP解析式得80108310?p（34?p）（34?p）4·-p=·(-)+4，解得p1=-4(舍去),p2=6,所以P(0,-6). 810103 15