等差数列的前n项和教学案例
回浦中学 柯慧勇
一、背景分析
本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（人教A版）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．
二、学情分析
在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．
三、设计理念
让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．
四、教学目标
1. 理解等差数列前n项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前n项和公式；了解倒序相加法的原理；
2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养合作交流、独立思考等良好的个性品质．
五、教学重点和难点
本节教学重点是探索并掌握等差数列前n项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前n项和公式推导思路的获得．
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六、教学过程设计
（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验
有一组袋子，第一个袋子里面有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个相同个数的球，求(1)袋子里球的个数；(2)前50个袋子里共有多少球。 [设计意图] 情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境” 相联系．从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一般的应用，为新课的讲解作铺垫．
[知识链接] 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋?+100＝？
据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：
（1＋100）＋（2＋99）＋??＋（50＋51）＝101×50＝5050.
[学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前n项和一般的规律性．教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由易到难的问题．
（二）由易到难，在自主探究与合作中学习
问题1：若第一个袋子里有一个球，后一个袋子比前一个袋子多一个球，则前51个袋子里共有多少球？
该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现． [学情预设] 学生可能出现以下求法 方法1：原式＝（1＋2＋3＋??＋50）＋51 方法2：原式＝0＋1＋2＋??＋50＋51
方法3：原式＝（1＋2＋?＋25＋27?＋51）＋26
以上方法实际上是用了“化归思想”，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬．
[设计意图] 这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想．
问题2：前n个袋子里共有（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少球？ [学情预设] 学生通过激烈的讨论后，发现n为奇数时不能配对，可能会分n为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键．
[设计意图] 从求确定的前n个正整数之和到求一般项数的前n个正整数之
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和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进．
启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形．
[设计意图] 借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型．
通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法： ∵1 + 2 + 3 +?（n－1） + n n +（n－1）+ （n－2）+? + 2 + 1
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(n+1) + (n+1) + (n+1) +? +(n+1) + (n+1) ∴1+2+3+?+n=
n（n+1） 2 问题3： 在公差为d的等差数列{an}中，前n项和 Sn=a1+a2+?+an，如何求Sn？
由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程： ∵Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +?+[a1+(n－1)d] Sn=an + (an－d) +（an－2d）+?+[an－(n－1)d] 2S?(a1?an)?(a1?an)?????(a1?an)∴n
n个?Sn?n(a1?an) (公式1) 2组织学生讨论：
在公式1中若将an=a1+（n－1）d代入又可得出哪个表达式?
n(n?1)d（公式2） 即：Sn?na1?2（三）设置典例，促进学生对公式的应用
对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取．教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式．
例1、为了参加冬季运动会的5000m长跑比赛，某同学给自己制定了7天的训练计划（单位：m）如下表：
5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 问这个同学7天一共将跑多长的距离？
[设计意图] 该例题是将课本P53习题2.3A组第3题改编成表格形式，可以锻炼学生处理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项
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数出发，选用公式1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算．
24例2、已知等差数列5，4 ，3 ，?求：(1)数列｛an｝的通项公式；
77125(2)数列｛an｝的前几项和为；(3)Sn的最大值为多少？并求出此时相应的n
7的值。
[设计意图] 通项公式与求和公式中共有a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础．
[知识链接] （1）由Sn?na1?n(n?1)ddddd?n2?(a1?)n,若令?A,a1??B, 22222则Sn?An2?Bn,可知当d?0时，点(n,Sn)是在常数项为0的二次函数图象上，可由二次函数的知识解决Sn的最值问题；
（2）若数列{an}的前n项和Sn?An2?Bn（A、B?R），则数列{an}一定是等差数列；
（4）在等差数列{an}中，当ak?0,ak?1?0时，Sk最大，当ak?0,ak?1?0时，
Sk最小。
（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握
练习1 已知等差数列｛an｝的前10项和是310，前20项的和是1220，求前n项和Sn.
练习2 等差数列｛an｝中，a1=－4，a8=－18，求公差d及前n项和Sn. [设计意图] 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念．
（五）回顾反思，深化知识
组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前n项和公式的再次深化．
1.从特殊到一般的研究方法；
2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；
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3. 前n项和公式的函数意义
4、用梯形面积公式记忆等差数列的前n项和公式； （六）布置作业
1.课本P46习题2.3，第1题（1）（3），第2题（3）（4），第5题 2.探索题 （1）数列{
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n(n+1)1×212×313×4 + + + ?+
1，求Sn；
n×(n+1)（2）若公差为d(d≠0）的等差数列{an}中，Tn=
1an-1an111 + + +?+ a1a2a2a3a3a4，你能否由题（1）的启发，得到Tn的表达式？
七、教学反思
“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．
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