在2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A）卷中，涉及到的内容比较全面，但是函数、数列和解析几何的知识所占分值分别为24分、20分和28分，分值比例比较大；二试中的4个题目分别涉及到了平面几何的圆内接四边形、多项式、组合及数论的知识，由此设计以下导学资料（有些题目为奥数专家提供），希望能给同学们启发和帮助。
一、数列导学
知识点：
（1）等差数列
an?a1??n?1?d?am??n?m?dd为公差.
Sn?n?an?a1?n?n?1??na1?d 22?an?等差?an+1-an=常数
?2an+1?an?an?2 ?an?kn?b
?Sn?An2?Bn?C
（2）等比数列
an?a1qn?1?amqn?m
?na1,q?1? Sn??a1(1?qn)
,q?1?1?q? ?an?等比?an+1=常数?an+12?anan?（?an?Aqn 2an?0）an?An,q?1 ?Sn??nA(q-1),q?1??S1,n?1 Sn与an关系：an??
?Sn?Sn?1,n?2 an?a1???ak?ak?1?
k?2n f(x)?f(a)??f??(t)dt a（3）无穷递缩等比数列各项和公式： S=?an?limSn?n?1n????xa1(0?|q|?1). 1?q模拟真题：
题1： 已知数列?an?满足a1?1,an?1?n?2Sn,n?1.证明：Sn?1?4an,n?1. n解析：(n?2)Sn?nan?1?n(Sn?1?Sn)
Sn?1S?S??2?n 故?n?是公比为2的等比数列 n?1n?n?Sn?1S?4?n?1 n?1n?1n?1Sn?1?4an,n?2 Sn?1?4n?1
n=1时, a2?3,S1?3,S2?a1?a2?4?4a1 证毕.
n?n?13题2：正数列?an?满足: ?ai???ai?.n?1.求证:?<3.
i?1?i?1?k?1akkn2解析：an=n,n?k n=k+1 ?ai3?ak?13i?1n?k?k?1?????ak?1?.
2??2 ak?13?k?k?1?ak?1?ak?12 ak?12?k?k?1??ak?1
?ak?1?k?1??ak?1?k??0?ak?1??k?1? Sn??ai,?ai3?Sn2
i?1i?1nn ?ai3?Sn?12
i?1n?1 ak?13?Sn?12?Sn2??Sn?1?Sn??Sn?1?Sn?
??2Sn?an?1?an?1 an?12?an?1?2Sn an2?an?2Sn?1
?an?1?an??an?1?an??an?1?an ?an?1?an?1 又a1?1 ?an?n ?k?1n1k3?3
1k32?111? k?1k?1?2k?12?k32?k?1?k?1?
?4k3??k2?1?2k?2k2?1
?k3?k??k2?1?k2?1 成立
???k?1n1k32?1??k?2n11 ?k?1k?1 ?1?1?2112?2??3 ??22nn?1题3：给定正整数n和正实数M，对于满足条件a12?an?12?M的所有等差数列
a1,,a2???a2n?1，求S?an?1?an?2????a2n?1的最大值
解析：a1?rcos?,an?1?rsin?,0?r?M d?an?1?anr?cos??sin???
nnn(n?1)d 2 S?(n?1)an?1?r(n?1)?3sin??cos?? 2r(n?1)110sin?????,??arctan(?) ?23 ? ?10M?n?1? 2题4：a1?1，an?an?11.求证：0?a10?2?10370 ?2an?1解析： an?2 成立
bn?an?2 =
12(an?1?)?2 2an?12an?22an?1?2 ??1
2an?122bnbn?1 ???1
2an?122b2?31?2? 2102b21 b3??22210?22b4?1 4210(22)?22b10?1102(22)2(22)2???(22)876103 （2?10）
=
11 ?10256(22)25510114?2380?23822 ?11 ?3702562551010(22)二、不等式导学
知识点：
(1)柯西不等式：若ai∈R,bi∈R,i=1, 2, ....., n，则(?a)(?b)?(?aibi)2.
2i2ii?1i?1i?1nnn等号当且仅当存在λ∈R，使得对任意i=1, 2, ....., n, ai=?bi, 变式1：若ai∈R,bi∈R,i=1, 2, ....., n，则(?i?1na)?bi2i(?ai)2(?bi)2i?1i?1nn.
等号成立条件为i=1, 2, ....., n, ai=?bi。
变式2：设ai, bi同号且不为0，(i=1, 2, ....., n)，则?i?1nai?bi(?ai)2n?abii?1i?1n.
i等号成立当且仅当b1=b2=.....=bn.
（2）平均值不等式：设a1, a2,.....,an∈R+，记Hn=n111????a1a2an, Gn=
22a1?a2???ana12?a2???ana1a2?an, An=， ,Qn?nn则Hn?Gn?An?Qn. 即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均。 其中等号成立的条件均为a1=a2=…=an.
（3）排序不等式：若两组实数a1?a2?.....?an且b1?b2?.....?bn，则对于b1, b2, ....., bn的任意排列bi,bi,?,bi， n12n有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1bi?a2bi???anbi≤a1b1+a2b2+.....+anbn
12n（4）凸函数f?x?的根x1，x2，且f?x?单调可得琴生不等式
f?x1??f?x2??2?x?x?f?12? ?2?模拟真题：
1(x?1)2x?1??题1：对于所有实数x?1.证明：2x?1?x?1 解析：1x?1?x?1?x?1 2x2
x?x?2x?1?x?tan2x