第五单元 导数的概念与计算、定积分 与微积分定理
考点一 导数的计算
1.(2016年四川卷)设直线l1,l2分别是函数f(x)= -ln??,0
ln??,??>1
P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是( ).
A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 【解析】
由图象易知P1,P2位于f(x)图象的两段上,不妨设P1(x1,-lnx1)(0
1??1
即y=-+1-lnx1. ①
????1
则函数f(x)的图象在点P2处的切线l2的方程为y-lnx2=(x-x2),即y=-1+lnx2. ②
1??2????2
由l1⊥l2,得-3=-1,
1??11??2
∴x1x2=1.
由切线方程可求得A(0,1-lnx1),B(0,lnx2-1), 由①②知l1与l2交点的横坐标xP=2?ln??1-ln??2
11+??1??2
=??
2
. +1??2
∴S△PAB=23(1-lnx1-lnx2+1)3??
22
=1. +??12??1+
??1
1
2
1+??2
=??
又∵x1∈(0,1),∴x1+>2,
1??1
∴0<2
??1+??1<1,即1
0 【答案】A 2.(2015年天津卷)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数.若f'(1)=3,则a的值为 . 【解析】f'(x)=a ln??+??· =a(1+lnx). 因为f'(1)=a(1+ln1)=a,又f'(1)=3,所以a=3. 【答案】3 1?? 考点二 导数的几何意义 3.(2016年山东卷)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质,下列函数中具有T性质的是( ). A.y=sinx B.y=lnx C.y=e xD.y=x 3 【解析】若y=f(x)的图象上存在两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则 f'(x1)2f'(x2)=-1. 对于A:y'=cosx,若有cosx12cosx2=-1,则存在x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)时,结论成立; 对于B:y'=,若有2=-1,则存在x1x2=-1,∵x>0,∴不存在x1,x2,使得x1x2=-1; 对于C:y'=e,若有e??12e??2=-1,则存在e??1+??2=-1,显然不存在这样的x1,x2; x1?? 1??11??2 2222 对于D:y'=3x,若有3??123??2=-1,则存在9??1??2=-1,显然不存在这样的x1,x2. 2 综上所述,故选A. 【答案】A 4.(2015年全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ax+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a= . 3 【解析】∵f'(x)=3ax+1,∴f'(1)=3a+1. 2 又f(1)=a+2,∴切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1). ∵切线过点(2,7),∴7-(a+2)=3a+1,解得a=1. 【答案】1 5.(2016年全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数,当x≤0时,f(x)=e-x,则曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 . 【解析】设x>0,则-x<0,f(-x)=e+x. x-1 -x-1 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),∴f(x)=ex-1+x(x>0). ∵当x>0时,f'(x)=ex-1+1, ∴f'(1)=e1-1+1=1+1=2. ∴曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程为y-2=2(x-1), 即2x-y=0. 【答案】2x-y=0 6.(2016年全国Ⅱ卷)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 【解析】求得(lnx+2)'=,[ln(x+1)]'=1??1. ??+1设曲线y=lnx+2上的切点为(x1,y1),曲线y=ln(x+1)上的切点为(x2,y2), 则k==11 ,所以 ??1??2+1x2+1=x1. 又y1=lnx1+2,y2=ln(x2+1)=lnx1, 所以k=??1-??2??1-??2 =2, 所以x1==,y1=ln+2=2-ln2, 所以b=y1-kx1=2-ln2-1=1-ln2. 【答案】1-ln2 11??212 考点三 定积分及其应用 7.(2014年江西卷)若f(x)=x+2 0 2 1 f(x)dx,则 0 1 f(x)dx=( ). A.-1 B.- C. D.1 1313 【解析】∵f(x)=x+2 0 2 1 f(x)dx,∴ 0 1 f(x)dx= 3??3+2x 0??(x)d?? | 0=+2 0??(x)d??, 3 11 1 11 ∴ 0 1 f(x)dx=-3. 1 【答案】B 8.(2014年山东卷)直线y=4x与曲线y=x在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ). 3 A.2 2 B.4 2 C.2 D.4 【解析】令4x=x,解得x=0或x=±2,∴S= 0 3 2 4x-??3)= 2??2- 0=8-4=4,故选D. ??44 2 【答案】D 9.(2014年陕西卷)定积分 0 A.e+2 B.e+1 1【解析】 0 1 (2x+e)dx的值为( ). xC.e D.e-1 (2x+e)dx=(x+e) =e.故选C. 0 x2 1 x【答案】C 10.(2015年天津卷)曲线y=x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为 . 2 【解析】 如图,阴影部分的面积即为所求. ??=??2,由 得A(1,1). ??=??, 故所求面积为S= 0【答案】 16 1 (x-x)dx= ??2-??3 0=. 2 1213 11 6 11.(2015年陕西卷)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 . 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,由抛物线过点(0,-2),(-5,0),(5,0),得抛物线的函数表达式为y=x-2,抛 2 225 物线与x轴围成的面积S1= -5量比为S2∶S1=1.2. 【答案】1.2 5 2? 2240 ?? dx=,梯形面积253 S2=(6+10)×2 =16.故原始的最大流量与当前最大流2 高频考点:导数的几何意义、导数的运算,定积分的计算偶尔涉及. 命题特点:导数的几何意义,主要以小题的形式考查,有时也会作为解答题的第一小问出现,难度不大.导数是研究函数的工具,其运算渗透在解答题中,定积分全国卷近几年没有涉及,地方卷偶尔考查,是基础题. §5.1 导数概念及其运算 一 导数的概念 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数: